Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto
é um espaço vetorial real usando as operações usuais. Isso envolve entender o que é um espaço vetorial e verificar se
cumpre todas as propriedades necessárias para ser considerado um.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre os números reais é um conjunto de vetores que satisfazem oito axiomas, como fechamento para adição e multiplicação por escalar, existência de vetores nulos, entre outros. No nosso caso, vamos focar nos principais:
- Fechamento por Adição: Se dois vetores estão em
, a soma deles também está em . - Fechamento por Multiplicação por Escalar: Se um vetor está em
e multiplicarmos ele por um número real, o resultado também está em . - Existência do Vetor Nulo: O vetor
deve estar em .
Vamos verificar cada um desses pontos.
Passo 3
1. Fechamento por Adição:
Sejam dois vetores quaisquer em
:
Como
e
estão em
, temos:
Agora, vamos adicionar
e
:
Para verificar se
está em
, somamos as componentes:
Como a soma das componentes é zero,
também está em
. Então,
é fechado por adição.
Passo 4
2. Fechamento por Multiplicação por Escalar:
Seja
um vetor em
e
um número real. Como
está em
, temos:
Agora, multiplicamos
por
:
Vamos verificar se
está em
:
Como a soma das componentes de
também é zero,
está em
. Portanto,
é fechado por multiplicação por escalar.
Passo 5
3. Existência do Vetor Nulo:
O vetor nulo em
é
. Vamos verificar se ele está em
:
Como a soma das componentes do vetor nulo é zero,
está em
. Assim, existe o vetor nulo em
.
Passo 6
Como verificamos que
contém o vetor nulo, é fechado por adição e por multiplicação por escalar, concluímos que
satisfaz os critérios para ser um espaço vetorial sobre os reais.
Resposta
Portanto, o conjunto
é de fato um espaço vetorial real sob as operações usuais.
Exercícios relacionados
Seja
a transformada de Laplace de uma função
, que é contínua para
e satisfaz à restrição de crescimento
. Mostre que, para
e
Use isto para encontrar uma função
cuja transformada é b)
.
Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
(a)
(a)
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Seja a transformada de Laplace de uma função
, que é contínua para
e satisfaz à restrição de crescimento
. Mostre que, para
e
Seja
Use isto para encontrar uma função
cuja transformada é a)
b)
.
Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
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