Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
(b) U=x in R^2 mid x1+x2=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto é um espaço vetorial real usando as operações usuais. Isso envolve entender o que é um espaço vetorial e verificar se cumpre todas as propriedades necessárias para ser considerado um.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre os números reais é um conjunto de vetores que satisfazem oito axiomas, como fechamento para adição e multiplicação por escalar, existência de vetores nulos, entre outros. No nosso caso, vamos focar nos principais:
  1. Fechamento por Adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também está em .
  2. Fechamento por Multiplicação por Escalar: Se um vetor está em e multiplicarmos ele por um número real, o resultado também está em .
  3. Existência do Vetor Nulo: O vetor deve estar em .
Vamos verificar cada um desses pontos.

Passo 3

1. Fechamento por Adição:
Sejam dois vetores quaisquer em u = (u1, u2) e v = (v1, v2) :
u1 + u2 = 0 e v1 + v2 = 0
Como u + v = (u1 + v1, u2 + v2) e (u1 + v1) + (u2 + v2) = (u1 + u2) + (v1 + v2) = 0 + 0 = 0 estão em , temos:
Agora, vamos adicionar e :
Para verificar se está em , somamos as componentes:
Como a soma das componentes é zero, também está em . Então, é fechado por adição.

Passo 4

2. Fechamento por Multiplicação por Escalar:
Seja u1 + u2 = 0 um vetor em cu = (c u1, c u2) e (c u1) + (c u2) = c(u1 + u2) = c cdot 0 = 0 um número real. Como está em , temos:
Agora, multiplicamos por :
Vamos verificar se está em :
Como a soma das componentes de também é zero, está em . Portanto, é fechado por multiplicação por escalar.

Passo 5

3. Existência do Vetor Nulo:
O vetor nulo em 0 + 0 = 0 é . Vamos verificar se ele está em :
Como a soma das componentes do vetor nulo é zero, está em . Assim, existe o vetor nulo em .

Passo 6

Como verificamos que contém o vetor nulo, é fechado por adição e por multiplicação por escalar, concluímos que satisfaz os critérios para ser um espaço vetorial sobre os reais.

Resposta

Portanto, o conjunto é de fato um espaço vetorial real sob as operações usuais.

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Seja F(p) a transformada de Laplace de uma função f(x), que é contínua para x >= 0 e satisfaz à restrição de crescimento |f(x)| <= C e^k x. Mostre que, para p>0, p>k e x>0
Lintegral0^x f(tau) d tau=F(p)p
Use isto para encontrar uma função f(x) cuja transformada é b) F(p)=1p^2(p^2+omega^2).
Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
(a) V=x in R^2 mid x1=x2
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Seja F(p) a transformada de Laplace de uma função f(x), que é contínua para x >= 0 e satisfaz à restrição de crescimento |f(x)| <= C e^k x. Mostre que, para p>0, p>k e x>0
Lintegral0^x f(tau) d tau=F(p)p
Use isto para encontrar uma função f(x) cuja transformada é a) F(p)=1p(p^2+omega^2) ; b) F(p)=1p^2(p^2+omega^2).
Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
© W=x in R^2 mid 3 x1-5 x2=0