Seja
a transformada de Laplace de uma função
, que é contínua para
e satisfaz à restrição de crescimento
. Mostre que, para
e
Use isto para encontrar uma função
cuja transformada é b)
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos uma função
cuja transformada de Laplace é
. O enunciado nos pede para mostrar que a transformada de Laplace da integral de
de 0 a
é igual a
. Depois, devemos usar esse resultado para encontrar uma função
específica cuja transformada de Laplace é
.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, especialmente a propriedade relacionada à integração de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a transformada de Laplace da integral de
de 0 a
é
.
Sabemos que a transformada de Laplace de uma função
é definida por:
Agora, consideremos a integral
. Vamos chamar essa integral de
:
Queremos encontrar
.
Passo 3
Aplicando a definição da transformada de Laplace para
:
Para resolver essa integral dupla, usamos a propriedade de troca da ordem de integração. Isso nos permite reescrever a expressão como:
Passo 4
Calculando a integral interna
:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 5
Reconhecemos que
é exatamente a definição da transformada de Laplace de
, isto é,
. Portanto:
Isso conclui a primeira parte do exercício.
Passo 6
Agora, vamos usar o resultado acima para encontrar a função
cuja transformada de Laplace é
.
Primeiro, reescrevemos
:
Podemos decompor essa expressão em frações parciais para facilitar a inversão da transformada de Laplace.
Passo 7
Vamos expressar
como soma de frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos polinômios dos dois lados da equação:
Para
:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Portanto, temos:
Passo 9
Substituindo os valores encontrados de
,
,
e
na decomposição de frações parciais:
Passo 10
Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada termo separadamente:
Portanto, combinando os resultados:
Resposta
A função
cuja transformada de Laplace é
é:
Exercícios relacionados
Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
(a)
(a)
Dada
, obtenha
.
d)
d)
Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
(b)
(b)
7
Seja a transformada de Laplace de uma função
, que é contínua para
e satisfaz à restrição de crescimento
. Mostre que, para
e
Seja
Use isto para encontrar uma função
cuja transformada é a)
b)
.