Seja F(p) a transformada de Laplace de uma função f(x), que é contínua para x >= 0 e satisfaz à restrição de crescimento |f(x)| <= C e^k x. Mostre que, para p>0, p>k e x>0
Lintegral0^x f(tau) d tau=F(p)p
Use isto para encontrar uma função f(x) cuja transformada é b) F(p)=1p^2(p^2+omega^2).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos uma função cuja transformada de Laplace é . O enunciado nos pede para mostrar que a transformada de Laplace da integral de de 0 a é igual a . Depois, devemos usar esse resultado para encontrar uma função específica cuja transformada de Laplace é .
Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, especialmente a propriedade relacionada à integração de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a transformada de Laplace da integral de F(p) = Lf(x) = integral0^infty e^-p x f(x) dx de 0 a F(x) = integral0^x f(tau) dtau é .
Sabemos que a transformada de Laplace de uma função é definida por:
Agora, consideremos a integral . Vamos chamar essa integral de :
Queremos encontrar .

Passo 3

Aplicando a definição da transformada de Laplace para LF(x) = integral0^infty e^-p x ( integral0^x f(tau) dtau ) dx :
LF(x) = integral0^infty f(tau) ( integraltau^infty e^-p x dx ) dtau
Para resolver essa integral dupla, usamos a propriedade de troca da ordem de integração. Isso nos permite reescrever a expressão como:

Passo 4

Calculando a integral interna integraltau^infty e^-p x dx = [ -1p e^-p x ]tau^infty = 1p e^-p tau :
LF(x) = integral0^infty f(tau) ( 1p e^-p tau ) dtau = 1p integral0^infty e^-p tau f(tau) dtau
Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 5

Reconhecemos que L integral0^x f(tau) dtau = F(p)p é exatamente a definição da transformada de Laplace de , isto é, . Portanto:
Isso conclui a primeira parte do exercício.

Passo 6

Agora, vamos usar o resultado acima para encontrar a função F(p) = 1p^2(p^2+omega^2) cuja transformada de Laplace é .
Primeiro, reescrevemos :
Podemos decompor essa expressão em frações parciais para facilitar a inversão da transformada de Laplace.

Passo 7

Vamos expressar 1p^2(p^2+omega^2) = Ap + Bp^2 + Cp + Dp^2+omega^2 como soma de frações parciais:
1 = A p (p^2 + omega^2) + B (p^2 + omega^2) + (Cp + D) p^2
Multiplicando ambos os lados por 1 = A p^3 + A p omega^2 + B p^2 + B omega^2 + C p^3 + D p^2 para eliminar os denominadores:
1 = (A + C) p^3 + (B + D) p^2 + A omega^2 p + B omega^2
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos polinômios dos dois lados da equação:
Para A + C = 0 Rightarrow C = -A :
B + D = 0 Rightarrow D = -B
Para A omega^2 = 0 Rightarrow A = 0 :
B omega^2 = 1 Rightarrow B = 1omega^2
Para A = 0, C = 0, B = 1omega^2, D = -1omega^2 :
Para o termo constante:
Portanto, temos:

Passo 9

Substituindo os valores encontrados de 1p^2(p^2+omega^2) = 0p + 1/omega^2p^2 + 0 cdot p - 1/omega^2p^2+omega^2 = 1omega^2 p^2 - 1omega^2(p^2+omega^2) , , e na decomposição de frações parciais:

Passo 10

Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada termo separadamente:
L^-1 1omega^2 p^2 = 1omega^2 t
L^-1 1omega^2(p^2+omega^2) = 1omega^3 sin(omega t)
Portanto, combinando os resultados:
f(t) = 1omega^2 t - 1omega^3 sin(omega t)

Resposta

A função f(x) = 1omega^2 x - 1omega^3 sin(omega x) cuja transformada de Laplace é é:

Exercícios relacionados

Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
(a) V=x in R^2 mid x1=x2
Dada F(p)=Lf(x)(p), obtenha f(x).
d) p-6(p-1)^2+4
Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
(b) U=x in R^2 mid x1+x2=0
7
Seja F(p) a transformada de Laplace de uma função f(x), que é contínua para x >= 0 e satisfaz à restrição de crescimento |f(x)| <= C e^k x. Mostre que, para p>0, p>k e x>0
Lintegral0^x f(tau) d tau=F(p)p
Use isto para encontrar uma função f(x) cuja transformada é a) F(p)=1p(p^2+omega^2) ; b) F(p)=1p^2(p^2+omega^2).