Mostre que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais
com as operações de soma e multiplicação definidas por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que certos conjuntos são espaços vetoriais. Especificamente, estamos trabalhando com o conjunto das matrizes
com números reais, denotado por
. Para resolver isso, precisamos entender o que é um espaço vetorial e verificar se esse conjunto, com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas, satisfaz todas as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, o que é um espaço vetorial? É um conjunto de “vetores” que pode ser adicionado e multiplicado por números (escalares) de forma a obedecer a certas regras chamadas axiomas. Essas regras garantem que a estrutura é bem comportada para operações lineares. Vamos ver quais são esses axiomas e verificar um por um para o nosso conjunto de matrizes.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento sob a soma
Isso significa que, se você pegar duas matrizes
e
do conjunto
e somar elas, o resultado também está no mesmo conjunto.
Matematicamente:
Como a soma de números reais continua sendo real, a soma de duas matrizes
também será uma matriz
com entradas reais. Então, o conjunto é fechado sob a soma.
Passo 4
Axioma 2: Fechamento sob a multiplicação por escalar
Aqui, queremos ver se multiplicar uma matriz
por um número real
resulta em outra matriz que ainda pertence a
.
Matematicamente:
Como
é real e as entradas de
são reais, a multiplicação por
mantém todas as entradas reais. Portanto, o conjunto é fechado sob a multiplicação por escalar.
Passo 5
Axioma 3: Associatividade da soma
Queremos verificar se
para todas as matrizes
,
e
em
.
Realizando as operações:
Como a adição de números reais é associativa, as duas expressões são iguais. Logo, a associatividade da soma está satisfeita.
Passo 6
Axioma 4: Comutatividade da soma
Precisamos verificar se
para todas as matrizes
e
em
.
Calculando:
A ordem da adição não altera o resultado porque a soma de números reais é comutativa. Assim, a comutatividade da soma está verificada.
Passo 7
Axioma 5: Elemento neutro da soma
Devemos encontrar uma matriz
tal que
para toda matriz
em
.
Definimos:
Então:
Portanto, existe o elemento neutro da soma no conjunto.
Passo 8
Axioma 6: Elemento inverso da soma
Para cada matriz
, precisamos encontrar uma matriz
tal que
.
Definimos:
Então:
Assim, todo elemento tem seu inverso na soma.
Passo 9
Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma vetorial
Precisamos mostrar que
para todo escalar
e matrizes
,
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como a multiplicação é distributiva na aritmética,
. Logo,
.
Passo 10
Axioma 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma dos escalares
Devemos provar que
para escalares
e matriz
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Novamente, pela distributividade na aritmética,
. Assim,
.
Passo 11
Axioma 9: Compatibilidade da multiplicação por escalar
Precisamos verificar se
para escalares
e matriz
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como a multiplicação de números reais é associativa,
. Portanto,
.
Passo 12
Axioma 10: Elemento neutro da multiplicação por escalar
Devemos mostrar que
, onde
é o elemento neutro na multiplicação dos escalares.
Calculando:
Então, multiplicar por
não altera a matriz, satisfazendo o elemento neutro da multiplicação por escalar.
Resposta
Com todas as propriedades verificadas, podemos concluir que
com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas é, de fato, um espaço vetorial.