Mostre que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais
M2 times 2(R) com as operações de soma e multiplicação definidas por
[ll a1 & a2 a3 & a4 ]+[ll b1 & b2 b3 & b4 ]=[ll a1+b1 & a2+b2 a3+b3 & a4+b4 ] e x[ll a1 & a2 a3 & a4 ]=[ll x a1 & x a2 x a3 & x a4 ], x in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que certos conjuntos são espaços vetoriais. Especificamente, estamos trabalhando com o conjunto das matrizes com números reais, denotado por . Para resolver isso, precisamos entender o que é um espaço vetorial e verificar se esse conjunto, com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas, satisfaz todas as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, o que é um espaço vetorial? É um conjunto de “vetores” que pode ser adicionado e multiplicado por números (escalares) de forma a obedecer a certas regras chamadas axiomas. Essas regras garantem que a estrutura é bem comportada para operações lineares. Vamos ver quais são esses axiomas e verificar um por um para o nosso conjunto de matrizes.

Passo 3

Axioma 1: Fechamento sob a soma
Isso significa que, se você pegar duas matrizes A + B = [ll a1+b1 & a2+b2 a3+b3 & a4+b4 ] in M2 times 2(R) e do conjunto e somar elas, o resultado também está no mesmo conjunto.
Matematicamente:
Como a soma de números reais continua sendo real, a soma de duas matrizes também será uma matriz com entradas reais. Então, o conjunto é fechado sob a soma.

Passo 4

Axioma 2: Fechamento sob a multiplicação por escalar
Aqui, queremos ver se multiplicar uma matriz xA = [ll x a1 & x a2 x a3 & x a4 ] in M2 times 2(R) por um número real resulta em outra matriz que ainda pertence a .
Matematicamente:
Como é real e as entradas de são reais, a multiplicação por mantém todas as entradas reais. Portanto, o conjunto é fechado sob a multiplicação por escalar.

Passo 5

Axioma 3: Associatividade da soma
Queremos verificar se (A + B) + C = [ll (a1+b1) + c1 & (a2+b2) + c2 (a3+b3) + c3 & (a4+b4) + c4 ] para todas as matrizes A + (B + C) = [ll a1 + (b1+c1) & a2 + (b2+c2) a3 + (b3+c3) & a4 + (b4+c4) ] , e em .
Realizando as operações:
Como a adição de números reais é associativa, as duas expressões são iguais. Logo, a associatividade da soma está satisfeita.

Passo 6

Axioma 4: Comutatividade da soma
Precisamos verificar se A + B = [ll a1+b1 & a2+b2 a3+b3 & a4+b4 ] = [ll b1+a1 & b2+a2 b3+a3 & b4+a4 ] = B + A para todas as matrizes e em .
Calculando:
A ordem da adição não altera o resultado porque a soma de números reais é comutativa. Assim, a comutatividade da soma está verificada.

Passo 7

Axioma 5: Elemento neutro da soma
Devemos encontrar uma matriz 0 = [ll 0 & 0 0 & 0 ] tal que A + 0 = [ll a1+0 & a2+0 a3+0 & a4+0 ] = [ll a1 & a2 a3 & a4 ] = A para toda matriz em .
Definimos:
Então:
Portanto, existe o elemento neutro da soma no conjunto.

Passo 8

Axioma 6: Elemento inverso da soma
Para cada matriz -A = [ll - a1 & - a2 - a3 & - a4 ] , precisamos encontrar uma matriz A + (-A) = [ll a1 - a1 & a2 - a2 a3 - a3 & a4 - a4 ] = [ll 0 & 0 0 & 0 ] = 0 tal que .
Definimos:
Então:
Assim, todo elemento tem seu inverso na soma.

Passo 9

Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma vetorial
Precisamos mostrar que x(A + B) = x [ll a1+b1 & a2+b2 a3+b3 & a4+b4 ] = [ll x(a1+b1) & x(a2+b2) x(a3+b3) & x(a4+b4) ] para todo escalar xA + xB = [ll x a1 & x a2 x a3 & x a4 ] + [ll x b1 & x b2 x b3 & x b4 ] = [ll x a1 + x b1 & x a2 + x b2 x a3 + x b3 & x a4 + x b4 ] e matrizes , .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como a multiplicação é distributiva na aritmética, . Logo, .

Passo 10

Axioma 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma dos escalares
Devemos provar que (x + y)A = (x + y) [ll a1 & a2 a3 & a4 ] = [ll (x + y)a1 & (x + y)a2 (x + y)a3 & (x + y)a4 ] para escalares xA + yA = [ll x a1 & x a2 x a3 & x a4 ] + [ll y a1 & y a2 y a3 & y a4 ] = [ll x a1 + y a1 & x a2 + y a2 x a3 + y a3 & x a4 + y a4 ] e matriz .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Novamente, pela distributividade na aritmética, . Assim, .

Passo 11

Axioma 9: Compatibilidade da multiplicação por escalar
Precisamos verificar se x(yA) = x [ll y a1 & y a2 y a3 & y a4 ] = [ll x(y a1) & x(y a2) x(y a3) & x(y a4) ] para escalares (xy)A = (xy) [ll a1 & a2 a3 & a4 ] = [ll (xy) a1 & (xy) a2 (xy) a3 & (xy) a4 ] e matriz .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como a multiplicação de números reais é associativa, . Portanto, .

Passo 12

Axioma 10: Elemento neutro da multiplicação por escalar
Devemos mostrar que 1 cdot A = 1 [ll a1 & a2 a3 & a4 ] = [ll 1 cdot a1 & 1 cdot a2 1 cdot a3 & 1 cdot a4 ] = [ll a1 & a2 a3 & a4 ] = A , onde é o elemento neutro na multiplicação dos escalares.
Calculando:
Então, multiplicar por não altera a matriz, satisfazendo o elemento neutro da multiplicação por escalar.

Resposta

Com todas as propriedades verificadas, podemos concluir que com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas é, de fato, um espaço vetorial.

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