x1+2 x2+3 x3=0
-5 x2+2 x3=0
x2+x3+x4 =0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício apresenta um sistema de três equações com quatro variáveis: , , e . A matéria que vamos usar aqui é a de sistemas de equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar aplicar técnicas de eliminação de variáveis e entender como expressar uma variável em função das outras.

Passo 2

Vamos escrever o sistema de equações para ficar mais fácil de visualizar:
x1 + 2x2 + 3x3 = 0 -5x2 + 2x3 = 0 x2 + x3 + x4 = 0
Como temos quatro variáveis e apenas três equações, isso significa que teremos uma variável livre, ou seja, uma variável que podemos escolher um valor arbitrário, e as outras serão determinadas em função dela.

Passo 3

Vamos começar simplificando a segunda equação, que envolve apenas -5x2 + 2x3 = 0 e -5x2 = -2x3 x2 = 25x3 :
Vamos isolar :
Agora sabemos que depende de .

Passo 4

Vamos usar a terceira equação para encontrar x2 + x3 + x4 = 0 em termos de 25x3 + x3 + x4 = 0 . A terceira equação é:
75x3 + x4 = 0
Sabendo que x4 = -75x3 , substituímos:
Somando os termos com :
Isolando :

Passo 5

Agora, vamos para a primeira equação para encontrar x1 + 2x2 + 3x3 = 0 em função de x1 + 2(25x3) + 3x3 = 0 x1 + 45x3 + 3x3 = 0 :
x1 + 195x3 = 0 x1 = -195x3
Substituindo :
Somando os termos com :

Passo 6

Como temos uma variável a mais, vamos escolher x3 = t (onde $t$ é qualquer número real) como variável livre. Vamos definir:
x2 = 25t x4 = -75t x1 = -195t éú
Agora, substituímos nas expressões que encontramos:

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = -dfrac195t x2 = dfrac25t x3 = t x4 = -dfrac75t
onde é um número real qualquer.

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