Resolva a seguinte equação Integral
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa resolver a seguinte equação integral:
Estamos lidando com uma equação integral, que é uma equação onde a função desconhecida
está dentro de uma integral. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de cálculo, especificamente diferenciação sob o sinal de integral e transformadas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar de
o lado direito da equação para facilitar a escrita:
Então, nossa equação fica:
Passo 3
Agora, para isolar
, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos aplicar a derivada na integral e também na expressão
:
Usando a regra de Leibniz para derivar sob o sinal de integral, a derivada da integral fica:
Perceba que
está no denominador, o que não é válido. Mas isso nos dá uma pista: vamos precisar de uma abordagem diferente, conhecida como Equação de Abel.
Passo 4
A Equação de Abel nos diz que se temos:
Então a solução para
é dada por:
Aplicando isso à nossa equação, onde
e
, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral dentro da derivada. Fazendo a substituição
,
, e mudando os limites de integração, a integral fica:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Agora, cada termo pode ser integrado separadamente:
Calculando cada uma dessas integrais:
Simplificando tudo isso nos dá uma expressão em termos de
. Depois de simplificar e derivar em relação a
, aplicamos a fórmula de Abel para encontrar
.
Resposta
Após os cálculos, a solução para a equação integral dada é:
Exercícios relacionados
Decida se cada função
possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as:
Mostre que as seguintes equações diferenciais são separáveis e resolva-as.
B)
B)
Decida se cada função
possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as:
Resolva a equação diferencial
, sabendo que
.