Resolva a seguinte equação Integral

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa resolver a seguinte equação integral:
Estamos lidando com uma equação integral, que é uma equação onde a função desconhecida está dentro de uma integral. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de cálculo, especificamente diferenciação sob o sinal de integral e transformadas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar de o lado direito da equação para facilitar a escrita:
Então, nossa equação fica:

Passo 3

Agora, para isolar , vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos aplicar a derivada na integral e também na expressão :
Usando a regra de Leibniz para derivar sob o sinal de integral, a derivada da integral fica:
Perceba que está no denominador, o que não é válido. Mas isso nos dá uma pista: vamos precisar de uma abordagem diferente, conhecida como Equação de Abel.

Passo 4

A Equação de Abel nos diz que se temos:
Então a solução para é dada por:
Aplicando isso à nossa equação, onde e , temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral dentro da derivada. Fazendo a substituição , , e mudando os limites de integração, a integral fica:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Agora, cada termo pode ser integrado separadamente:
Calculando cada uma dessas integrais:
Simplificando tudo isso nos dá uma expressão em termos de . Depois de simplificar e derivar em relação a , aplicamos a fórmula de Abel para encontrar .

Resposta

Após os cálculos, a solução para a equação integral dada é:

Exercícios relacionados

Decida se cada função possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as:
Mostre que as seguintes equações diferenciais são separáveis e resolva-as.
B)
Decida se cada função possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as:
Resolva a equação diferencial , sabendo que .