Resolva a seguinte equação Integral
integral0^t y(x)raizt-x d x=1+t+t^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa resolver a seguinte equação integral:
integral0^t y(x)raizt - x , dx = 1 + t + t^2
Estamos lidando com uma equação integral, que é uma equação onde a função desconhecida está dentro de uma integral. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de cálculo, especificamente diferenciação sob o sinal de integral e transformadas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar de g(t) = 1 + t + t^2 o lado direito da equação para facilitar a escrita:
integral0^t y(x)raizt - x , dx = g(t)
Então, nossa equação fica:

Passo 3

Agora, para isolar ddt ( integral0^t y(x)raizt - x , dx ) = ddt ( g(t) ) , vamos derivar ambos os lados da equação em relação a y(t)raiz0 + integral0^t y(x)2(t - x)^3/2 , dx = g'(t) . Isso significa que vamos aplicar a derivada na integral e também na expressão :
Usando a regra de Leibniz para derivar sob o sinal de integral, a derivada da integral fica:
Perceba que está no denominador, o que não é válido. Mas isso nos dá uma pista: vamos precisar de uma abordagem diferente, conhecida como Equação de Abel.

Passo 4

A Equação de Abel nos diz que se temos:
integral0^t f(x)raizt - x , dx = g(t)
Então a solução para f(t) = 1pi ddt ( integral0^t g(x)raizt - x , dx ) é dada por:
y(t) = 1pi ddt ( integral0^t 1 + x + x^2raizt - x , dx )
Aplicando isso à nossa equação, onde e , temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral dentro da derivada. Fazendo a substituição integral0^t 1 + x + x^2raizt - x , dx = integral0^t 1 + (t - u) + (t - u)^2raizu , du , 1 + t - u + t^2 - 2tu + u^2 = t^2 + t + 1 - (2t + 1)u + u^2 , e mudando os limites de integração, a integral fica:
integral0^t t^2 + t + 1 - (2t + 1)u + u^2raizu , du
Simplificando a expressão dentro da integral:
t^2 integral0^t u^-1/2 , du + t integral0^t u^-1/2 , du + integral0^t u^-1/2 , du - (2t + 1) integral0^t u^1/2 , du + integral0^t u^3/2 , du
Então, a integral fica:
t^2 cdot 2raizt + t cdot 2raizt + 2raizt - (2t + 1) cdot 23 t^3/2 + 25 t^5/2
Agora, cada termo pode ser integrado separadamente:
Calculando cada uma dessas integrais:
Simplificando tudo isso nos dá uma expressão em termos de . Depois de simplificar e derivar em relação a , aplicamos a fórmula de Abel para encontrar .

Resposta

Após os cálculos, a solução para a equação integral dada é:
y(t) = 2 raizpi (1 + t + t^2)

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