Mostre quais das seguintes funções satisfazem a função de onda dada pela Equação (15.15 - Halliday 9 ed.) (a) y(x, t)= Acos(k x+omega t); (b) y(x, t)=A sen(k x+omega t) ; c) y(x, t)= A(cos k x+cos omega t); d) Para a onda do item (b), escreva a equação para a velocidade transversal e a aceleração transversal de uma partícula no ponto x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos várias funções de onda e precisamos verificar quais delas satisfazem a Equação (15.15) do livro do Halliday (9ª edição). Além disso, para a função do item (b), precisamos encontrar as equações da velocidade transversal e da aceleração transversal de uma partícula no ponto partial^2 ypartial x^2 = 1v^2 partial^2 ypartial t^2 .
Para resolver isso, vamos lembrar que a Equação de onda geral é dada por:
onde é a velocidade da onda. Precisamos verificar se cada função dada satisfaz essa equação.

Passo 2

Vamos começar analisando a função do item (a):
y(x, t) = A cos(kx + omega t)
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
partial ypartial x = -A k sin(kx + omega t)
partial^2 ypartial x^2 = -A k^2 cos(kx + omega t)
Agora, em relação ao tempo:
partial ypartial t = -A omega sin(kx + omega t)
partial^2 ypartial t^2 = -A omega^2 cos(kx + omega t)
Substituindo na Equação de onda:
-A k^2 cos(kx + omega t) = 1v^2 (-A omega^2 cos(kx + omega t))
Simplificando:
k^2 = omega^2v^2 implies v = omegak
Como a igualdade é satisfeita, a função do item (a) satisfaz a Equação de onda.

Passo 3

Agora, vamos para a função do item (b):
y(x, t) = A sin(kx + omega t)
Calculando as derivadas:
partial ypartial x = A k cos(kx + omega t)
partial^2 ypartial x^2 = -A k^2 sin(kx + omega t)
Em relação ao tempo:
partial ypartial t = A omega cos(kx + omega t)
partial^2 ypartial t^2 = -A omega^2 sin(kx + omega t)
Substituindo na Equação de onda:
-A k^2 sin(kx + omega t) = 1v^2 (-A omega^2 sin(kx + omega t))
Simplificando:
k^2 = omega^2v^2 implies v = omegak
Portanto, a função do item (b) também satisfaz a Equação de onda.

Passo 4

Vamos analisar a função do item ©:
y(x, t) = A (cos kx + cos omega t)
Calculando as derivadas:
partial ypartial x = -A k sin kx
partial^2 ypartial x^2 = -A k^2 cos kx
Em relação ao tempo:
partial ypartial t = -A omega sin omega t
partial^2 ypartial t^2 = -A omega^2 cos omega t
Substituindo na Equação de onda:
-A k^2 cos kx = 1v^2 (-A omega^2 cos omega t)
Aqui, vemos que os termos dependem de e separadamente, o que não satisfaz a Equação de onda que relaciona derivadas mistas de e . Portanto, a função do item © não satisfaz a Equação de onda.

Passo 5

Finalmente, para o item (d), precisamos determinar a velocidade transversal e a aceleração transversal para a função do item (b):
y(x, t) = A sin(kx + omega t)
A velocidade transversal é a derivada de vy = partial ypartial t = A omega cos(kx + omega t) em relação ao tempo:
ay = partial vypartial t = -A omega^2 sin(kx + omega t)
A aceleração transversal é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

Resposta

As funções que satisfazem a Equação de onda são:
  • Item (a):
  • Item (b):
A função do item © não satisfaz a Equação de onda.
Para o item (d), a velocidade transversal é e a aceleração transversal é .

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