Mostre quais das seguintes funções satisfazem a função de onda dada pela Equação (15.15 - Halliday 9 ed.) (a)
; (b)
c)
; d) Para a onda do item (b), escreva a equação para a velocidade transversal e a aceleração transversal de uma partícula no ponto
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos várias funções de onda e precisamos verificar quais delas satisfazem a Equação (15.15) do livro do Halliday (9ª edição). Além disso, para a função do item (b), precisamos encontrar as equações da velocidade transversal e da aceleração transversal de uma partícula no ponto
.
Para resolver isso, vamos lembrar que a Equação de onda geral é dada por:
onde
é a velocidade da onda. Precisamos verificar se cada função dada satisfaz essa equação.
Passo 2
Vamos começar analisando a função do item (a):
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
Agora, em relação ao tempo:
Substituindo na Equação de onda:
Simplificando:
Como a igualdade é satisfeita, a função do item (a) satisfaz a Equação de onda.
Passo 3
Agora, vamos para a função do item (b):
Calculando as derivadas:
Em relação ao tempo:
Substituindo na Equação de onda:
Simplificando:
Portanto, a função do item (b) também satisfaz a Equação de onda.
Passo 4
Vamos analisar a função do item ©:
Calculando as derivadas:
Em relação ao tempo:
Substituindo na Equação de onda:
Aqui, vemos que os termos dependem de
e
separadamente, o que não satisfaz a Equação de onda que relaciona derivadas mistas de
e
. Portanto, a função do item © não satisfaz a Equação de onda.
Passo 5
Finalmente, para o item (d), precisamos determinar a velocidade transversal e a aceleração transversal para a função do item (b):
A velocidade transversal é a derivada de
em relação ao tempo:
A aceleração transversal é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Resposta
As funções que satisfazem a Equação de onda são:
- Item (a):
- Item (b):
A função do item © não satisfaz a Equação de onda.
Para o item (d), a velocidade transversal é
e a aceleração transversal é
.