Uma partícula se move com uma aceleração descrita pela seguinte função: a(t)=k t^3, com todas as grandezas no [SI] e com k= constante. a) Determine as unidades da constante k e escreva as equações de v(t) e x(t), considere v(t)=vo e x(t)=xo. b) considere agora o valor de k=2 e vo=1 m / s e xo=-2 m e escreva as equações de movimento desta partícula.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula que está se movendo com uma aceleração que depende do tempo, dada por . Nosso objetivo é:
a) Descobrir as unidades da constante e encontrar as equações de velocidade e posição , sabendo que e no início.
b) Agora, com valores específicos para , e , escrever as equações de movimento da partícula.
Vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente integração para passar da aceleração para a velocidade e da velocidade para a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir quais são as unidades da constante a(t) = k t^3 . Sabemos que a aceleração [a(t)] = m/s^2 = [k] cdot [t]^3 tem unidades de metros por segundo ao quadrado ( [k] = m/s^2s^3 = m cdot s^-5 ).
A equação da aceleração é:
Então, as unidades de devem compensar o para que o resultado final tenha unidades de .
Vamos pensar nas unidades:
Sabemos que é em segundos ( ), então:
Portanto, as unidades de são metros por segundos à quinta potência ( ).

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação da velocidade v(t) = integral a(t) , dt = integral k t^3 , dt = k cdot t^44 + v0 . Sabemos que velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo.
v(t) = k4 t^4 + v0
Então, a equação da velocidade é:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a equação da posição x(t) = integral v(t) , dt = integral ( k4 t^4 + v0 ) dt = k4 cdot t^55 + v0 t + x0 . A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo.
x(t) = k20 t^5 + v0 t + x0
Simplificando:

Passo 5

Agora vamos para a parte b) da questão, onde temos valores específicos: v(t) = 2e4 t^4 + 1 = e2 t^4 + 1 , x(t) = 2e20 t^5 + 1 cdot t - 2 = e10 t^5 + t - 2 e .
Vamos substituir esses valores nas equações que encontramos.
Primeiro, a equação da velocidade:
Agora, a equação da posição:

Resposta

As equações de movimento da partícula são:
v(t) = e2 t^4 + 1 , m/s
x(t) = e10 t^5 + t - 2 , m

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