Uma partícula se move com uma aceleração descrita pela seguinte função: a(t)=k t^3, com todas as grandezas no [SI] e com k= constante. a) Determine as unidades da constante k e escreva as equações de v(t) e x(t), considere v(t)=vo e x(t)=xo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma partícula que se move com uma aceleração dada por , onde é uma constante. O que precisamos descobrir é:
  1. As unidades de .
  2. As equações da velocidade e da posição , considerando as condições iniciais e .
Para resolver isso, vamos precisar entender de cinemática, especificamente como relacionar aceleração, velocidade e posição através de integrações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as unidades da constante [a(t)] = [k] cdot [t^3] .
Sabemos que a aceleração m/s^2 = [k] cdot s^3 tem unidades de [k] = m/s^2s^3 = ms^5 no Sistema Internacional (SI). A função dada é .
Vamos analisar as unidades de cada lado da equação:
Sabemos que e , então:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :
Então, as unidades de são .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação da velocidade a(t) = dvdt .
Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
v(t) = integral a(t) , dt = integral k t^3 , dt
Para encontrar v(t) = k cdot t^44 + C , integramos a aceleração:
v(0) = k cdot 0^44 + C = C = vo
Integrando v(t) = k t^44 + vo em relação a :
Aqui, é a constante de integração. Para encontrar , usamos a condição inicial :
Então, a equação da velocidade fica:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a equação da posição v(t) = dxdt .
Sabemos que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
x(t) = integral v(t) , dt = integral ( k t^44 + vo ) dt
Para encontrar x(t) = k4 cdot t^55 + vo t + D , integramos a velocidade:
x(0) = k4 cdot 0^55 + vo cdot 0 + D = D = xo
Integrando cada termo separadamente:
x(t) = k t^520 + vo t + xo
Aqui, é a constante de integração. Para encontrar , usamos a condição inicial :
Então, a equação da posição fica:

Resposta

As unidades da constante v(t) = k t^44 + vo são x(t) = k t^520 + vo t + xo . As equações de velocidade e posição são:

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