Mostre as seguintes igualdades entre conjuntos: Se e , então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de teoria dos conjuntos. Precisamos demonstrar que, se é subconjunto de e é subconjunto de , então a multiplicação cartesiana dos complementos de e em e respectivamente é igual ao complemento da união de e dentro de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de operação com conjuntos, como diferença, união e produto cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto cartesiano. Se temos dois conjuntos e , o produto cartesiano é o conjunto de todos os pares ordenados onde está em e está em .

Passo 3

Agora, o que significa ? Isso representa o conjunto de elementos que estão em mas não estão em . Similarmente, é o conjunto de elementos em que não estão em .

Passo 4

Vamos então olhar para o lado esquerdo da igualdade que queremos provar: . Isso significa que estamos formando pares onde o primeiro elemento não está em e o segundo não está em .

Passo 5

Do outro lado, temos . A união aqui significa que estamos considerando todos os pares onde o primeiro elemento está em e o segundo em , ou onde o primeiro está em e o segundo em .

Passo 6

Queremos mostrar que é igual a . Para isso, vamos provar que cada lado está contido no outro.

Passo 7

Primeiro, vamos mostrar que . Seja um elemento de . Então, e . Isso significa que não está em nem em , então está no complemento da união.

Passo 8

Agora, vamos mostrar que . Seja um elemento de . Isso significa que está em mas não está em nem em . Logo, e , ou seja, e .

Resposta

Portanto, mostramos que .

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