Mostre as seguintes igualdades entre conjuntos: Se
e
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de teoria dos conjuntos. Precisamos demonstrar que, se
é subconjunto de
e
é subconjunto de
, então a multiplicação cartesiana dos complementos de
e
em
e
respectivamente é igual ao complemento da união de
e
dentro de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de operação com conjuntos, como diferença, união e produto cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o produto cartesiano. Se temos dois conjuntos
e
, o produto cartesiano
é o conjunto de todos os pares ordenados
onde
está em
e
está em
.
Passo 3
Agora, o que significa
? Isso representa o conjunto de elementos que estão em
mas não estão em
. Similarmente,
é o conjunto de elementos em
que não estão em
.
Passo 4
Vamos então olhar para o lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
. Isso significa que estamos formando pares onde o primeiro elemento não está em
e o segundo não está em
.
Passo 5
Do outro lado, temos
. A união aqui significa que estamos considerando todos os pares onde o primeiro elemento está em
e o segundo em
, ou onde o primeiro está em
e o segundo em
.
Passo 6
Queremos mostrar que
é igual a
. Para isso, vamos provar que cada lado está contido no outro.
Passo 7
Primeiro, vamos mostrar que
. Seja
um elemento de
. Então,
e
. Isso significa que
não está em
nem em
, então está no complemento da união.
Passo 8
Agora, vamos mostrar que
. Seja
um elemento de
. Isso significa que
está em
mas não está em
nem em
. Logo,
e
, ou seja,
e
.
Resposta
Portanto, mostramos que
.
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Considerando os conjuntos
e
determine os seguintes conjuntos e as suas cardinalidades:
;
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;
Para cada função da questão abaixo, calcule o valor de
para que
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