Mostre os seguintes itens abaixo
(log_a x)' = 1 / (x ln a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a derivada de em relação a x é igual a . Vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente a regra da derivada de funções logarítmicas com base diferente de e. Para resolver isso, vamos precisar das propriedades dos logaritmos e da derivada da função logarítmica natural.

Passo 2

Primeiro, lembremos que qualquer logaritmo pode ser convertido em termos de logaritmo natural usando a fórmula:
Isso é útil porque a derivada do logaritmo natural ( ln x) é bem conhecida.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a x. Usando a expressão que acabamos de ver:
Como é uma constante (já que a é a base fixa do logaritmo), podemos tirar essa constante para fora da derivada:

Passo 4

Sabemos que a derivada de ln x em relação a x é 1/x. Substituindo isso na equação:
Isso simplifica para:

Resposta

A derivada de em relação a x é .

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