Mostre as seguintes propriedades dos números naturais
(a) m + n = n + m, para todo m, n em N (comutatividade).
(b) Se n + k = m + k (n, m, k pertencem a N), então n = m (cancelamento).
© (m n) k = m(n k), para todo m, n, k em N (associatividade).
(d) m n = n m, para todo m, n em N (comutatividade).
(e) Se n k = m k (n, m, k em N), então n = m (cancelamento).

Passo 1

Beleza, vamos mostrar algumas propriedades dos números naturais. A matéria que vamos usar envolve as propriedades de comutatividade, associatividade e cancelamento na adição e multiplicação. Para isso, vamos precisar entender como essas propriedades funcionam e aplicar definições básicas de números naturais.

Passo 2

(a) Comutatividade da Adição ( ):
A comutatividade da adição diz que a ordem dos números não altera o resultado da soma.

Passo 3

Vamos supor dois números naturais quaisquer, m e n.

Passo 4

Sabemos que a adição é definida de forma que representa a soma de m e n.

Passo 5

Pela definição da adição nos números naturais, é igual a porque a ordem não muda a quantidade total.

Passo 6

Portanto, mostramos que para todos m, n em N.

Passo 7

(b) Cancelamento na Adição (Se , então ):
A propriedade de cancelamento na adição afirma que se adicionarmos o mesmo número k a dois números diferentes e os resultados forem iguais, então os números iniciais devem ser iguais.

Passo 8

Suponha que para alguns .

Passo 9

Para cancelar o k de ambos os lados, subtraímos k:

Passo 10

Isso simplifica para:

Passo 11

Assim, se , então necessariamente .

Passo 12

© Associatividade da Multiplicação ( ):
A associatividade da multiplicação indica que a maneira como agrupamos os números na multiplicação não altera o resultado.

Passo 13

Considere três números naturais quaisquer: m, n e k.

Passo 14

Primeiro, calculamos :

Passo 15

Pela definição de multiplicação, isso é igual a:

Passo 16

Portanto, para todos m, n, k em N.

Passo 17

(d) Comutatividade da Multiplicação ( ):
A comutatividade da multiplicação afirma que a ordem dos fatores não altera o produto.

Passo 18

Tomemos dois números naturais quaisquer, m e n.

Passo 19

A multiplicação é definida de modo que representa o produto de m e n.

Passo 20

Pela propriedade comutativa da multiplicação, .

Passo 21

Logo, mostramos que para todos m, n em N.

Passo 22

(e) Cancelamento na Multiplicação (Se , então ):
A propriedade de cancelamento na multiplicação diz que se multiplicarmos dois números por k e os produtos forem iguais, então os números iniciais devem ser iguais, desde que .

Passo 23

Suponha que para alguns com .

Passo 24

Dividimos ambos os lados por k:

Passo 25

Isso simplifica para:

Passo 26

Portanto, se e , então .

Resposta

Mostramos que todas as propriedades listadas são verdadeiras para os números naturais:
(a) (comutatividade da adição),
(b) Se , então (cancelamento na adição),
© (associatividade da multiplicação),
(d) (comutatividade da multiplicação),
(e) Se e , então (cancelamento na multiplicação).

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