Mostre as seguintes propriedades dos números naturais
(a)
(comutatividade).
(b) Se
, então
(cancelamento).
©
(associatividade).
(d)
(comutatividade).
(e) Se
, então
(cancelamento).
(a)
(b) Se
©
(d)
(e) Se
Passo 1
Beleza, vamos mostrar algumas propriedades dos números naturais. A matéria que vamos usar envolve as propriedades de comutatividade, associatividade e cancelamento na adição e multiplicação. Para isso, vamos precisar entender como essas propriedades funcionam e aplicar definições básicas de números naturais.
Passo 2
(a) Comutatividade da Adição (
):
A comutatividade da adição diz que a ordem dos números não altera o resultado da soma.
Passo 3
Vamos supor dois números naturais quaisquer,
e
.
Passo 4
Sabemos que a adição é definida de forma que
representa a soma de
e
.
Passo 5
Pela definição da adição nos números naturais,
é igual a
porque a ordem não muda a quantidade total.
Passo 6
Portanto, mostramos que
para todos
.
Passo 7
(b) Cancelamento na Adição (Se
, então
):
A propriedade de cancelamento na adição afirma que se adicionarmos o mesmo número
a dois números diferentes e os resultados forem iguais, então os números iniciais devem ser iguais.
Passo 8
Suponha que
para alguns
.
Passo 9
Para cancelar o
de ambos os lados, subtraímos
:
Passo 10
Isso simplifica para:
Passo 11
Assim, se
, então necessariamente
.
Passo 12
© Associatividade da Multiplicação (
):
A associatividade da multiplicação indica que a maneira como agrupamos os números na multiplicação não altera o resultado.
Passo 13
Considere três números naturais quaisquer:
,
e
.
Passo 14
Primeiro, calculamos
:
Passo 15
Pela definição de multiplicação, isso é igual a:
Passo 16
Portanto,
para todos
.
Passo 17
(d) Comutatividade da Multiplicação (
):
A comutatividade da multiplicação afirma que a ordem dos fatores não altera o produto.
Passo 18
Tomemos dois números naturais quaisquer,
e
.
Passo 19
A multiplicação é definida de modo que
representa o produto de
e
.
Passo 20
Pela propriedade comutativa da multiplicação,
.
Passo 21
Logo, mostramos que
para todos
.
Passo 22
(e) Cancelamento na Multiplicação (Se
, então
):
A propriedade de cancelamento na multiplicação diz que se multiplicarmos dois números por
e os produtos forem iguais, então os números iniciais devem ser iguais, desde que
.
Passo 23
Suponha que
para alguns
com
.
Passo 24
Dividimos ambos os lados por
:
Passo 25
Isso simplifica para:
Passo 26
Portanto, se
e
, então
.
Resposta
Mostramos que todas as propriedades listadas são verdadeiras para os números naturais:
(a)
(comutatividade da adição),
(b) Se
, então
(cancelamento na adição),
©
(associatividade da multiplicação),
(d)
(comutatividade da multiplicação),
(e) Se
e
, então
(cancelamento na multiplicação).
Exercícios relacionados
Seja
uma função e
and
. Prove as seguintes igualdades.
(a) .
(b) .
© .
(d) Se é injetiva então
.
(e) Se é sobrejetiva então
.
(a)
(b)
©
(d) Se
(e) Se
Sabendo que
,
e
calcule
.
Escolha uma opção:
a.
b. 5
c.
d. -6
e. -4
Verificar
Escolha uma opção:
a.
b. 5
c.
d. -6
e. -4
Verificar
Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função.
Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função.