Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a derivada da função
usando derivação logarítmica. Isso está relacionado ao estudo de derivadas em cálculo, especialmente útil quando lidamos com produtos e potências complicadas. Para isso, vamos usar propriedades dos logaritmos e regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a gentira. Assim:
Passo 3
Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que o log do produto é a soma dos logs:
Passo 4
Em seguida, aplicamos a propriedade que permite “baixar” os expoentes na frente do logaritmo:
Passo 5
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
:
Passo 6
Vamos calcular as derivadas dos logaritmos usando a regra da cadeia. A derivada de
é
:
Passo 7
Simplificando as expressões:
Passo 8
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Resposta
A derivada da função é: