Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função. y = (x^2 + 2)^2 (x^4 + 4)^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a derivada da função usando derivação logarítmica. Isso está relacionado ao estudo de derivadas em cálculo, especialmente útil quando lidamos com produtos e potências complicadas. Para isso, vamos usar propriedades dos logaritmos e regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a gentira. Assim:

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que o log do produto é a soma dos logs:

Passo 4

Em seguida, aplicamos a propriedade que permite “baixar” os expoentes na frente do logaritmo:

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que a derivada de em relação a é :

Passo 6

Vamos calcular as derivadas dos logaritmos usando a regra da cadeia. A derivada de é :

Passo 7

Simplificando as expressões:

Passo 8

Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :

Resposta

A derivada da função é:

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