Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar a derivada da função
utilizando a derivação logarítmica. Para isso, vamos precisar conhecer regras de derivação, como a derivada de funções exponenciais, trigonométricas e a regra do quociente.
Passo 2
A derivação logarítmica é uma técnica que facilita a derivação de funções complicadas, especialmente quando a função envolve produtos, quocientes ou potências. A ideia é aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a expressão antes de derivar.
Passo 3
Vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
Passo 4
Usando propriedades dos logaritmos, podemos separar a expressão:
Passo 5
Aplicando novamente as propriedades dos logaritmos para o primeiro termo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
:
Passo 7
Calculando cada derivada:
Substituindo na equação:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Passo 9
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 10
Substituindo
pela função original:
Resposta
A derivada da função é: