Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar a derivada da função
utilizando a derivação logarítmica. Para isso, vamos precisar conhecer regras de derivação, como a derivada de funções exponenciais, trigonométricas e a regra do quociente.
Passo 2
A derivação logarítmica é uma técnica que facilita a derivação de funções complicadas, especialmente quando a função envolve produtos, quocientes ou potências. A ideia é aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a expressão antes de derivar.
Passo 3
Vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
Passo 4
Usando propriedades dos logaritmos, podemos separar a expressão:
Passo 5
Aplicando novamente as propriedades dos logaritmos para o primeiro termo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
:
Passo 7
Calculando cada derivada:
Substituindo na equação:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Passo 9
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 10
Substituindo
pela função original:
Resposta
A derivada da função é:
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Mostre as seguintes propriedades dos números naturais
(a) (comutatividade).
(b) Se , então
(cancelamento).
© (associatividade).
(d) (comutatividade).
(e) Se , então
(cancelamento).
(a)
(b) Se
©
(d)
(e) Se
Seja
uma função e
and
. Prove as seguintes igualdades.
(a) .
(b) .
© .
(d) Se é injetiva então
.
(e) Se é sobrejetiva então
.
(a)
(b)
©
(d) Se
(e) Se
Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função.
Nos Problemas 31-34 encontre uma solução explícita do problema de valor inicial. Determine o intervalo exato de definição
por métodos analíticos. Use um software gráfico para gerar o gráfico da solução.