Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar a derivada da função utilizando a derivação logarítmica. Para isso, vamos precisar conhecer regras de derivação, como a derivada de funções exponenciais, trigonométricas e a regra do quociente.

Passo 2

A derivação logarítmica é uma técnica que facilita a derivação de funções complicadas, especialmente quando a função envolve produtos, quocientes ou potências. A ideia é aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a expressão antes de derivar.

Passo 3

Vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:

Passo 4

Usando propriedades dos logaritmos, podemos separar a expressão:

Passo 5

Aplicando novamente as propriedades dos logaritmos para o primeiro termo:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembrando que a derivada de em relação a é :

Passo 7

Calculando cada derivada:
Substituindo na equação:

Passo 8

Simplificando a expressão:

Passo 9

Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 10

Substituindo pela função original:

Resposta

A derivada da função é:

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(a) (comutatividade).
(b) Se , então (cancelamento).
© (associatividade).
(d) (comutatividade).
(e) Se , então (cancelamento).
Seja uma função e and . Prove as seguintes igualdades.
(a) .
(b) .
© .
(d) Se é injetiva então .
(e) Se é sobrejetiva então .
Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função.
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