Seja uma função e and . Prove as seguintes igualdades.
(a) .
(b) .
© .
(d) Se é injetiva então .
(e) Se é sobrejetiva então .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a primeira parte da questão está pedindo. Temos uma função e dois subconjuntos e do domínio . A questão quer que a gente prove que a imagem da união desses conjuntos é igual à união das imagens desses conjuntos, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a imagem de um conjunto através de uma função e como as operações de união funcionam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem de um conjunto pela função , denotada por , é o conjunto de todos os elementos que mapeia os elementos de para dentro de . Formalmente:

Passo 3

Agora, vamos analisar . A união contém todos os elementos que estão em , em ou em ambos. Portanto:
Isso significa que estamos pegando todos os que estão em ou em e aplicando a eles.

Passo 4

Por outro lado, é a união das imagens de e de individualmente. Ou seja:
Isso também abrange todos os elementos que são imagens de ou de .

Passo 5

Agora, para provar que , precisamos mostrar que todo elemento de está em e vice-versa.
Primeiro, suponha que . Então existe algum tal que . Isso significa que está em ou em , então está em ou em , logo .
Agora, suponha que . Então está em ou em . Se está em , existe algum tal que . Como , então . O mesmo vale se está em .

Passo 6

Agora vamos para a segunda parte da questão. Queremos provar que a pré-imagem da união de dois conjuntos e em é igual à união das pré-imagens de e de individualmente, ou seja:
Aqui, precisamos entender o que é pré-imagem de um conjunto pela função e como a operação de união se comporta nesse contexto.

Passo 7

A pré-imagem de um conjunto pela função , denotada por , é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados por para algum elemento em . Formalmente:

Passo 8

Vamos analisar . A união contém todos os elementos que estão em , em ou em ambos. Então:
Isso significa que estamos coletando todos os que são mapeados por para ou para .

Passo 9

Por outro lado, é a união das pré-imagens de e de individualmente:
Isso também reúne todos os que são mapeados para ou para .

Passo 10

Para provar que , precisamos mostrar que cada elemento de um conjunto está no outro.
Primeiro, suponha que . Então , ou seja, ou . Portanto, está em ou em , logo .
Agora, suponha que . Então está em ou em . Se está em , então , e assim . O mesmo vale se está em .

Passo 11

Vamos para a terceira parte da questão. Queremos provar que a pré-imagem da interseção de dois conjuntos e é igual à interseção das pré-imagens de e de , ou seja:
Precisamos entender como a pré-imagem interage com a operação de interseção.

Passo 12

Como antes, a pré-imagem de é:
Isso significa que deve ser mapeado para um elemento que está tanto em quanto em .

Passo 13

Por outro lado:
Isso reúne todos os que são mapeados tanto para quanto para .

Passo 14

Para provar a igualdade, mostramos que cada elemento de um conjunto está no outro.
Se , então e , o que implica que e , logo .
Conversamente, se , então e , o que significa que , portanto .

Passo 15

Agora vamos para a quarta parte. Queremos provar que se a função é injetiva, então a pré-imagem da imagem de é igual a , ou seja:
Vamos entender o que significa uma função ser injetiva e como isso afeta a relação entre e .

Passo 16

Uma função é chamada de injetiva se elementos diferentes no domínio são mapeados para elementos diferentes no contradomínio. Formalmente, se implica que .
A pré-imagem da imagem de , , é o conjunto de todos os em tal que está em :

Passo 17

Vamos mostrar que .
Primeiro, pegamos . Então , o que implica . Portanto, .
Agora, suponha que . Isso significa que , então existe algum tal que . Como é injetiva, implica que . Portanto, . Assim, .

Passo 18

Finalmente, vamos para a quinta parte da questão. Precisamos provar que se a função é sobrejetiva, então a imagem da pré-imagem de é igual a , ou seja:
Aqui, vamos entender o que significa uma função ser sobrejetiva e como isso influencia a relação entre e .

Passo 19

Uma função é chamada de sobrejetiva se cada elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio . Ou seja, para todo , existe pelo menos um tal que .
A pré-imagem de , , é o conjunto de todos os em tal que :
A imagem desse conjunto, , é:

Passo 20

Vamos provar que .
Primeiro, pegamos . Então existe algum tal que . Como , . Portanto, .
Agora, como é sobrejetiva, para todo , existe algum tal que . Isso significa que , então . Logo, .

Resposta

Portanto, se é sobrejetiva, então .

Exercícios relacionados

Sabendo que , e calcule .
Escolha uma opção:
a.
b. 5
c.
d. -6
e. -4
Verificar
Calcule sabendo que
Mostre as seguintes propriedades dos números naturais
(a) (comutatividade).
(b) Se , então (cancelamento).
© (associatividade).
(d) (comutatividade).
(e) Se , então (cancelamento).
Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função.