Seja
uma função e
and
. Prove as seguintes igualdades.
(a)
.
(b)
.
©
.
(d) Se
é injetiva então
.
(e) Se
é sobrejetiva então
.
(a)
(b)
©
(d) Se
(e) Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a primeira parte da questão está pedindo. Temos uma função
e dois subconjuntos
e
do domínio
. A questão quer que a gente prove que a imagem da união desses conjuntos é igual à união das imagens desses conjuntos, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a imagem de um conjunto através de uma função e como as operações de união funcionam nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a imagem de um conjunto
pela função
, denotada por
, é o conjunto de todos os elementos que
mapeia os elementos de
para dentro de
. Formalmente:
Passo 3
Agora, vamos analisar
. A união
contém todos os elementos que estão em
, em
ou em ambos. Portanto:
Isso significa que estamos pegando todos os
que estão em
ou em
e aplicando
a eles.
Passo 4
Por outro lado,
é a união das imagens de
e de
individualmente. Ou seja:
Isso também abrange todos os elementos que são imagens de
ou de
.
Passo 5
Agora, para provar que
, precisamos mostrar que todo elemento de
está em
e vice-versa.
Primeiro, suponha que
. Então existe algum
tal que
. Isso significa que
está em
ou em
, então
está em
ou em
, logo
.
Agora, suponha que
. Então
está em
ou em
. Se está em
, existe algum
tal que
. Como
, então
. O mesmo vale se
está em
.
Passo 6
Agora vamos para a segunda parte da questão. Queremos provar que a pré-imagem da união de dois conjuntos
e
em
é igual à união das pré-imagens de
e de
individualmente, ou seja:
Aqui, precisamos entender o que é pré-imagem de um conjunto pela função
e como a operação de união se comporta nesse contexto.
Passo 7
A pré-imagem de um conjunto
pela função
, denotada por
, é o conjunto de todos os elementos em
que são mapeados por
para algum elemento em
. Formalmente:
Passo 8
Vamos analisar
. A união
contém todos os elementos que estão em
, em
ou em ambos. Então:
Isso significa que estamos coletando todos os
que são mapeados por
para
ou para
.
Passo 9
Por outro lado,
é a união das pré-imagens de
e de
individualmente:
Isso também reúne todos os
que são mapeados para
ou para
.
Passo 10
Para provar que
, precisamos mostrar que cada elemento de um conjunto está no outro.
Primeiro, suponha que
. Então
, ou seja,
ou
. Portanto,
está em
ou em
, logo
.
Agora, suponha que
. Então
está em
ou em
. Se está em
, então
, e assim
. O mesmo vale se
está em
.
Passo 11
Vamos para a terceira parte da questão. Queremos provar que a pré-imagem da interseção de dois conjuntos
e
é igual à interseção das pré-imagens de
e de
, ou seja:
Precisamos entender como a pré-imagem interage com a operação de interseção.
Passo 12
Como antes, a pré-imagem de
é:
Isso significa que
deve ser mapeado para um elemento que está tanto em
quanto em
.
Passo 13
Por outro lado:
Isso reúne todos os
que são mapeados tanto para
quanto para
.
Passo 14
Para provar a igualdade, mostramos que cada elemento de um conjunto está no outro.
Se
, então
e
, o que implica que
e
, logo
.
Conversamente, se
, então
e
, o que significa que
, portanto
.
Passo 15
Agora vamos para a quarta parte. Queremos provar que se a função
é injetiva, então a pré-imagem da imagem de
é igual a
, ou seja:
Vamos entender o que significa uma função ser injetiva e como isso afeta a relação entre
e
.
Passo 16
Uma função
é chamada de injetiva se elementos diferentes no domínio são mapeados para elementos diferentes no contradomínio. Formalmente, se
implica que
.
A pré-imagem da imagem de
,
, é o conjunto de todos os
em
tal que
está em
:
Passo 17
Vamos mostrar que
.
Primeiro, pegamos
. Então
, o que implica
. Portanto,
.
Agora, suponha que
. Isso significa que
, então existe algum
tal que
. Como
é injetiva,
implica que
. Portanto,
. Assim,
.
Passo 18
Finalmente, vamos para a quinta parte da questão. Precisamos provar que se a função
é sobrejetiva, então a imagem da pré-imagem de
é igual a
, ou seja:
Aqui, vamos entender o que significa uma função ser sobrejetiva e como isso influencia a relação entre
e
.
Passo 19
Uma função
é chamada de sobrejetiva se cada elemento do contradomínio
é imagem de pelo menos um elemento do domínio
. Ou seja, para todo
, existe pelo menos um
tal que
.
A pré-imagem de
,
, é o conjunto de todos os
em
tal que
:
A imagem desse conjunto,
, é:
Passo 20
Vamos provar que
.
Primeiro, pegamos
. Então existe algum
tal que
. Como
,
. Portanto,
.
Agora, como
é sobrejetiva, para todo
, existe algum
tal que
. Isso significa que
, então
. Logo,
.
Resposta
Portanto, se
é sobrejetiva, então
.
Exercícios relacionados
Sabendo que
,
e
calcule
.
Escolha uma opção:
a.
b. 5
c.
d. -6
e. -4
Verificar
Escolha uma opção:
a.
b. 5
c.
d. -6
e. -4
Verificar
Calcule
sabendo que
Mostre as seguintes propriedades dos números naturais
(a) (comutatividade).
(b) Se , então
(cancelamento).
© (associatividade).
(d) (comutatividade).
(e) Se , então
(cancelamento).
(a)
(b) Se
©
(d)
(e) Se
Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função.