Mostre que, sempre que a luz branca passa através de uma rede de difração com qualquer tamanho de espaçamento, a extremidade violeta do espectro na terceira ordem sobre uma tela sempre se sobrepõe à extremidade vermelha do espectro de segunda ordem. Resposta: theta2 r>theta3 v

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, quando a luz branca passa por uma rede de difração qualquer, a extremidade violeta do espectro na terceira ordem fica antes (ou seja, com ângulo menor) da extremidade vermelha na segunda ordem quando projetada numa tela. Isso envolve conceitos de difração de luz e espectro eletromagnético. Para resolver, vamos precisar da fórmula da rede de difração e entender como as diferentes cores da luz (com diferentes comprimentos de onda) se comportam nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da rede de difração, que relaciona o espaçamento entre as linhas da rede ( d), o ângulo de difração ( theta), a ordem da difração ( m) e o comprimento de onda da luz ( lambda):
d sin theta = m lambda
Essa equação nos diz que, para uma dada ordem m, o ângulo theta depende do comprimento de onda lambda. Como diferentes cores de luz têm diferentes lambda, elas se espalham em ângulos diferentes quando passam pela rede.

Passo 3

Vamos identificar as informações que precisamos comparar:
  • Extremidade violeta na terceira ordem: Aqui, m = 3 e lambdav (comprimento de onda do violeta).
  • Extremidade vermelha na segunda ordem: Aqui, m = 2 e lambdar (comprimento de onda do vermelho).
Sabemos que lambdav < lambdar porque a luz violeta tem comprimento de onda menor que a vermelha.

Passo 4

Aplicando a fórmula da rede de difração para cada caso:
Para a extremidade violeta na terceira ordem:
d sin theta3v = 3 lambdav
Para a extremidade vermelha na segunda ordem:
d sin theta2r = 2 lambdar

Passo 5

Vamos resolver ambas as equações para sin theta:
sin theta3v = 3 lambdavd
sin theta2r = 2 lambdard

Passo 6

Queremos comparar theta2r e theta3v. Para isso, observamos que:
theta = arcsin(m lambdad)
Como lambdar > lambdav e 2 < 3, precisamos analisar qual efeito predomina.

Passo 7

Vamos reescrever as equações de sin theta:
2 lambdard e 3 lambdavd
Para determinar qual é maior, comparamos 2 lambdar e 3 lambdav.

Passo 8

Sabemos que lambdar > lambdav. Não conhecemos os valores exatos, mas geralmente, o comprimento de onda vermelho é aproximadamente do dobro do violeta. Mesmo assim, multiplicando:
Se lambdar approx 2 lambdav, então:
2 lambdar approx 4 lambdav
3 lambdav = 3 lambdav
Portanto, 2 lambdar > 3 lambdav.

Passo 9

Como 2 lambdar > 3 lambdav, temos:
2 lambdard > 3 lambdavd
sin theta2r > sin theta3v
Como a função seno é crescente no intervalo considerado, isso implica que:
theta2r > theta3v

Resposta

theta2 r > theta3 v

Exercícios relacionados