Mostre que, sempre que a luz branca passa através de uma rede de difração com qualquer tamanho de espaçamento, a extremidade violeta do espectro na terceira ordem sobre uma tela sempre se sobrepõe à extremidade vermelha do espectro de segunda ordem. Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, quando a luz branca passa por uma rede de difração qualquer, a extremidade violeta do espectro na terceira ordem fica antes (ou seja, com ângulo menor) da extremidade vermelha na segunda ordem quando projetada numa tela. Isso envolve conceitos de difração de luz e espectro eletromagnético. Para resolver, vamos precisar da fórmula da rede de difração e entender como as diferentes cores da luz (com diferentes comprimentos de onda) se comportam nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da rede de difração, que relaciona o espaçamento entre as linhas da rede ( ), o ângulo de difração ( ), a ordem da difração ( ) e o comprimento de onda da luz ( ):
Essa equação nos diz que, para uma dada ordem , o ângulo depende do comprimento de onda . Como diferentes cores de luz têm diferentes , elas se espalham em ângulos diferentes quando passam pela rede.

Passo 3

Vamos identificar as informações que precisamos comparar:
  • Extremidade violeta na terceira ordem: Aqui, e (comprimento de onda do violeta).
  • Extremidade vermelha na segunda ordem: Aqui, e (comprimento de onda do vermelho).
Sabemos que porque a luz violeta tem comprimento de onda menor que a vermelha.

Passo 4

Aplicando a fórmula da rede de difração para cada caso:
Para a extremidade violeta na terceira ordem:
Para a extremidade vermelha na segunda ordem:

Passo 5

Vamos resolver ambas as equações para :

Passo 6

Queremos comparar e . Para isso, observamos que:
Como e , precisamos analisar qual efeito predomina.

Passo 7

Vamos reescrever as equações de :
Para determinar qual é maior, comparamos e .

Passo 8

Sabemos que . Não conhecemos os valores exatos, mas geralmente, o comprimento de onda vermelho é aproximadamente do dobro do violeta. Mesmo assim, multiplicando:
Se , então:
Portanto, .

Passo 9

Como , temos:
Como a função seno é crescente no intervalo considerado, isso implica que:

Resposta

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