Mostre que: Se , então .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos descobrir como fica a sua derivada de ordem , ou seja, . Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas e observar o padrão que se forma conforme derivamos a função várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as primeiras derivadas de :
  1. Primeira derivada ( ):
    Aqui, derivamos o seno e obtemos o cosseno.
  2. Segunda derivada ( ):
    Derivando o cosseno, voltamos para o seno, mas com sinal negativo.
  3. Terceira derivada ( ):
    Derivando o seno negativo, obtemos o cosseno negativo.
  4. Quarta derivada ( ):
    Derivando o cosseno negativo, voltamos para o seno positivo.

Passo 3

Agora, observamos um padrão interessante: após quatro derivadas, voltamos à função original . Isso significa que as derivadas começam a se repetir a cada quatro passos. Vamos continuar para ver:
  1. Quinta derivada ( ):
    Igual à primeira derivada.
  2. Sexta derivada ( ):
    Igual à segunda derivada.
  3. Sétima derivada ( ):
    Igual à terceira derivada.
  4. Oitava derivada ( ):
    Voltamos à função original.

Passo 4

Com base nisso, podemos generalizar o padrão das derivadas de :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
Aqui, é um número natural ( ). Esse padrão mostra que as derivadas de se repetem a cada quatro derivadas.

Resposta

Portanto, para , a derivada de ordem é:

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Seja a função dada por
(a) Calcule .
(b) A função é contínua em ? Justifique sua resposta.
Calcule
sendo
Seja a função dada por
(a) Calcule e .
(b) Determine, caso existam, e para que seja contínua em . Justifique sua resposta.
Determine os domínios das funções vetoriais abaixo: ;