Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos descobrir como fica a sua derivada de ordem , ou seja, . Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas e observar o padrão que se forma conforme derivamos a função várias vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as primeiras derivadas de f'(x) = cos(x) :
Primeira derivada ( f''(x) = -sin(x) ):
f'''(x) = -cos(x)
Aqui, derivamos o seno e obtemos o cosseno.
Segunda derivada ( f''''(x) = sin(x) ):
Derivando o cosseno, voltamos para o seno, mas com sinal negativo.
Terceira derivada ():
Derivando o seno negativo, obtemos o cosseno negativo.
Quarta derivada ():
Derivando o cosseno negativo, voltamos para o seno positivo.
Passo 3
Agora, observamos um padrão interessante: após quatro derivadas, voltamos à função original f^(5)(x) = cos(x) . Isso significa que as derivadas começam a se repetir a cada quatro passos. Vamos continuar para ver:
Quinta derivada ( f^(6)(x) = -sin(x) ):
f^(7)(x) = -cos(x)
Igual à primeira derivada.
Sexta derivada ( f^(8)(x) = sin(x) ):
Igual à segunda derivada.
Sétima derivada ():
Igual à terceira derivada.
Oitava derivada ():
Voltamos à função original.
Passo 4
Com base nisso, podemos generalizar o padrão das derivadas de f^(n)(x) = sin(x) :
Quando f^(n)(x) = cos(x) :
f^(n)(x) = -sin(x)
Quando f^(n)(x) = -cos(x) :
Quando :
Quando :
Aqui, é um número natural (). Esse padrão mostra que as derivadas de se repetem a cada quatro derivadas.
Resposta
Portanto, para f^(n)(x) = cos(x), & n = 1 + 4k -sin(x), & n = 2 + 4k -cos(x), & n = 3 + 4k sin(x), & 4k , k in N , a derivada de ordem é: