Mostre que: Se f(x)=sen(x), então f^(n)(x)=lcos (x), n=1+4 k -sen(x), n=2+4 k -cos (x), n=3+4 k sen(x), 4 k , k in N.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos descobrir como fica a sua derivada de ordem , ou seja, . Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas e observar o padrão que se forma conforme derivamos a função várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as primeiras derivadas de f'(x) = cos(x) :
  1. Primeira derivada ( f''(x) = -sin(x) ):
    f'''(x) = -cos(x)
    Aqui, derivamos o seno e obtemos o cosseno.
  2. Segunda derivada ( f''''(x) = sin(x) ):
    Derivando o cosseno, voltamos para o seno, mas com sinal negativo.
  3. Terceira derivada ( ):
    Derivando o seno negativo, obtemos o cosseno negativo.
  4. Quarta derivada ( ):
    Derivando o cosseno negativo, voltamos para o seno positivo.

Passo 3

Agora, observamos um padrão interessante: após quatro derivadas, voltamos à função original f^(5)(x) = cos(x) . Isso significa que as derivadas começam a se repetir a cada quatro passos. Vamos continuar para ver:
  1. Quinta derivada ( f^(6)(x) = -sin(x) ):
    f^(7)(x) = -cos(x)
    Igual à primeira derivada.
  2. Sexta derivada ( f^(8)(x) = sin(x) ):
    Igual à segunda derivada.
  3. Sétima derivada ( ):
    Igual à terceira derivada.
  4. Oitava derivada ( ):
    Voltamos à função original.

Passo 4

Com base nisso, podemos generalizar o padrão das derivadas de f^(n)(x) = sin(x) :
  • Quando f^(n)(x) = cos(x) :
    f^(n)(x) = -sin(x)
  • Quando f^(n)(x) = -cos(x) :
  • Quando :
  • Quando :
Aqui, é um número natural ( ). Esse padrão mostra que as derivadas de se repetem a cada quatro derivadas.

Resposta

Portanto, para f^(n)(x) = cos(x), & n = 1 + 4k -sin(x), & n = 2 + 4k -cos(x), & n = 3 + 4k sin(x), & 4k , k in N , a derivada de ordem é:

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