Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos descobrir como fica a sua derivada de ordem , ou seja, . Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas e observar o padrão que se forma conforme derivamos a função várias vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as primeiras derivadas de :
Primeira derivada ():
Aqui, derivamos o seno e obtemos o cosseno.
Segunda derivada ():
Derivando o cosseno, voltamos para o seno, mas com sinal negativo.
Terceira derivada ():
Derivando o seno negativo, obtemos o cosseno negativo.
Quarta derivada ():
Derivando o cosseno negativo, voltamos para o seno positivo.
Passo 3
Agora, observamos um padrão interessante: após quatro derivadas, voltamos à função original . Isso significa que as derivadas começam a se repetir a cada quatro passos. Vamos continuar para ver:
Quinta derivada ():
Igual à primeira derivada.
Sexta derivada ():
Igual à segunda derivada.
Sétima derivada ():
Igual à terceira derivada.
Oitava derivada ():
Voltamos à função original.
Passo 4
Com base nisso, podemos generalizar o padrão das derivadas de :
Quando :
Quando :
Quando :
Quando :
Aqui, é um número natural (). Esse padrão mostra que as derivadas de se repetem a cada quatro derivadas.