Mostre que as sequências
e
divergem, porém, a sequência
é convergente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa mostrar que as sequências
e
divergem, ou seja, não têm limite finito quando
cresce. Mas, por outro lado, a sequência
é convergente, significa que ela tem um limite finito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e manipulação algébrica.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a sequência
. Queremos encontrar o limite dessa sequência quando
tende ao infinito.
Passo 3
Para encontrar o limite de
quando
, podemos dividir o numerador e o denominador por
(o maior grau do denominador):
Passo 4
Agora, vamos avaliar o limite:
Então, a sequência
diverge para o infinito.
Passo 5
Agora, vamos analisar a sequência
. De maneira similar, vamos encontrar o limite quando
.
Passo 6
Dividindo numerador e denominador por
:
Passo 7
Avaliando o limite:
Portanto, a sequência
também diverge para o infinito.
Passo 8
Agora que vimos que ambas as sequências individuais divergem, vamos analisar a sequência
para verificar se ela converge.
Passo 9
Vamos simplificar a expressão:
Vamos encontrar um denominador comum:
Então:
Passo 10
Agora, vamos simplificar mais dividindo numerador e denominador por
:
Passo 11
Finalmente, avaliamos o limite quando
:
Isso mostra que a sequência
converge para 7.
Resposta
As sequências
e
divergem para o infinito, enquanto a sequência
converge para 7.