Mostre que as sequências {n^2/(n-3)} e n^2/(n+4) divergem, porém, a sequência {(n^2)/(n-3) - (n^2)/(n+4)} é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa mostrar que as sequências {n^2/(n-3)} e n^2/(n+4) divergem, ou seja, não têm limite finito quando n cresce. Mas, por outro lado, a sequência é convergente, significa que ela tem um limite finito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência {n^2/(n-3)}. Queremos encontrar o limite dessa sequência quando n tende ao infinito.

Passo 3

Para encontrar o limite de quando , podemos dividir o numerador e o denominador por n (o maior grau do denominador):

Passo 4

Agora, vamos avaliar o limite:
Então, a sequência {n^2/(n-3)} diverge para o infinito.

Passo 5

Agora, vamos analisar a sequência n^2/(n+4). De maneira similar, vamos encontrar o limite quando .

Passo 6

Dividindo numerador e denominador por n:

Passo 7

Avaliando o limite:
Portanto, a sequência n^2/(n+4) também diverge para o infinito.

Passo 8

Agora que vimos que ambas as sequências individuais divergem, vamos analisar a sequência para verificar se ela converge.

Passo 9

Vamos simplificar a expressão:
Vamos encontrar um denominador comum:
Então:

Passo 10

Agora, vamos simplificar mais dividindo numerador e denominador por n^2:

Passo 11

Finalmente, avaliamos o limite quando :
Isso mostra que a sequência converge para 7.

Resposta

As sequências {n^2/(n-3)} e n^2/(n+4) divergem para o infinito, enquanto a sequência converge para 7.

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