( 1,0 ponto ) Determine o volume do sólido, no primeiro octante, cortado por cima por z = 4 - x^2 - y^2 e lateralmente pelo cilindro x^2 + y^2 = 2x, em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o volume de um sólido no primeiro octante (onde , e são todos positivos), que é limitado de cima pela superfície e lateralmente pelo cilindro . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis para esse tipo de problema onde temos simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações dadas para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, temos:
E a equação do cilindro se transforma em:
Isso nos dá o limite para em termos de .

Passo 3

Como estamos no primeiro octante, varia de a (90 graus). Então, os limites de integração ficam:
Para , ela vai de 0 (base) até a superfície .

Passo 4

Agora, montamos o integral para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume é dado por:
Aqui, o é o fator extra que vem do Jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Vamos resolver o integral de dentro para fora. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, o integral fica:

Passo 6

Integramos agora em relação a :
Simplificando:
Então, o integral passa a ser:

Passo 7

Agora, integramos em relação a . Sabemos que:
Substituindo na expressão:

Resposta

O volume do sólido é .

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