( 1,0 ponto ) Determine o volume do sólido, no primeiro octante, cortado por cima por
e lateralmente pelo cilindro
, em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o volume de um sólido no primeiro octante (onde
,
e
são todos positivos), que é limitado de cima pela superfície
e lateralmente pelo cilindro
. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis para esse tipo de problema onde temos simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações dadas para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, temos:
E a equação do cilindro
se transforma em:
Isso nos dá o limite para
em termos de
.
Passo 3
Como estamos no primeiro octante,
varia de
a
(90 graus). Então, os limites de integração ficam:
Para
, ela vai de 0 (base) até a superfície
.
Passo 4
Agora, montamos o integral para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume
é dado por:
Aqui, o
é o fator extra que vem do Jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Vamos resolver o integral de dentro para fora. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, o integral fica:
Passo 6
Integramos agora em relação a
:
Simplificando:
Então, o integral passa a ser:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
. Sabemos que:
Substituindo na expressão:
Resposta
O volume do sólido é
.
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Sabemos da teoria vista em sala que toda sequência monótona e limitada é convergente, porém, se tirarmos a hipótese da sequência ser monótona ou limitada a sequência pode não ser convergente. Dê um exemplo de uma função que seja limitada, mas não seja convergente;
Mostre que as sequências
e
divergem, porém, a sequência
é convergente.
(1,0 ponto) Encontre o volume do sólido abaixo da esfera
e acima do paraboloide por
, em coordenadas esféricas.
(1,0 ponto) Encontre o volume do sólido delimitado pelos paraboloides
.