Sabemos da teoria vista em sala que toda sequência monótona e limitada é convergente, porém, se tirarmos a hipótese da sequência ser monótona ou limitada a sequência pode não ser convergente. Dê um exemplo de uma função que seja limitada, mas não seja convergente;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar um exemplo de uma função (ou sequência) que seja limitada, ou seja, que seus valores não saiam de certos limites, mas que não seja convergente, ou seja, que não se aproxime de um único valor à medida que avançamos nos termos. Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de sequências limitadas e convergência.

Passo 2

Vamos considerar a sequência definida por , para todo . Essa função alterna seus valores entre 1 e -1 conforme aumenta.

Passo 3

Primeiro, vamos verificar se a sequência é limitada. Observamos que para todo , assume valores apenas em 1 e -1. Portanto, temos que:
Isso mostra que a sequência está limitada entre -1 e 1.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a sequência é convergente. Para uma sequência ser convergente, ela precisa se aproximar de um único valor conforme tende ao infinito. No caso da nossa sequência , percebemos que os valores continuam alternando entre 1 e -1 indefinidamente. Não há um único valor para o qual a sequência se aproxima. Portanto, a sequência não é convergente.

Resposta

Um exemplo de sequência limitada, mas não convergente, é .

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