Use a Definição 1 vista em aula para mostrar que as sequências abaixo tem limite L : {2 n^2 / (5 n^2 + 1), L = 2 / 5}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a sequência tem limite . Isso envolve o tópico de limites de sequências na matemática. Para resolver isso, vamos usar a Definição 1 de limite de sequência, que nos ajuda a formalizar quando uma sequência converge para um valor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Definição 1 de limite de sequência. Dizemos que o limite da sequência é L se, para todo , existe um número natural N tal que para todo , a distância entre e L é menor que varepsilon. Em fórmula:

Passo 3

Aplicando isso à nossa sequência, queremos provar que:
Ou seja, para qualquer , precisamos encontrar um N tal que quando , a diferença entre e 2/5 seja menor que varepsilon.

Passo 4

Vamos calcular a diferença:
Para simplificar, vamos combinar as frações:

Passo 5

Queremos que essa expressão seja menor que varepsilon:
Vamos resolver para n:

Passo 6

Então, para encontrar um N, basta escolher:
Onde representa o menor número inteiro maior ou igual ao valor dentro. Assim, para qualquer , existe esse N que satisfaz a condição da Definição 1.

Resposta

Portanto, usando a Definição 1 de limite de sequência, mostramos que .

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