Use a Definição 1 vista em aula para mostrar que as sequências abaixo tem limite :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a sequência tem limite . Isso envolve o tópico de limites de sequências na matemática. Para resolver isso, vamos usar a Definição 1 de limite de sequência, que nos ajuda a formalizar quando uma sequência converge para um valor específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Definição 1 de limite de sequência. Dizemos que o limite da sequência é se, para todo , existe um número natural tal que para todo , a distância entre e é menor que . Em fórmula:
Passo 3
Aplicando isso à nossa sequência, queremos provar que:
Ou seja, para qualquer , precisamos encontrar um tal que quando , a diferença entre e seja menor que .
Passo 4
Vamos calcular a diferença:
Para simplificar, vamos combinar as frações:
Passo 5
Queremos que essa expressão seja menor que varepsilon:
Vamos resolver para n:
Passo 6
Então, para encontrar um N, basta escolher:
Onde representa o menor número inteiro maior ou igual ao valor dentro. Assim, para qualquer , existe esse N que satisfaz a condição da Definição 1.
Resposta
Portanto, usando a Definição 1 de limite de sequência, mostramos que .