Seja uma transformação linear de tal que e . Determine uma base para o núcleo de ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares. A questão nos dá uma transformação linear e algumas imagens de vetores específicos. Nosso objetivo é encontrar uma base para o núcleo de . Para isso, vamos precisar lembrar como encontrar o núcleo de uma transformação linear e usar as informações dadas para montar um sistema de equações que nos ajude a descobrir esse núcleo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar todos esses vetores .
Passo 3
Vamos representar a transformação linear por uma matriz. Sabemos que uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Os vetores coluna de são as imagens dos vetores da base padrão de . Mas como não temos a matriz completa, vamos usar os vetores dados para montar o sistema de equações.
Passo 4
Sabemos que:
Vamos considerar um vetor genérico . Queremos encontrar tais que .
Passo 5
Expressando a transformação linear como uma combinação linear dos vetores dados:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 6
Agora, vamos igualar as componentes:
Como já sabemos que , a segunda equação simplifica para:
Passo 7
Simplificando a equação:
Isso significa que está relacionado a por essa equação. Podemos escolher como parâmetro livre, digamos , onde é um número real qualquer.