Seja uma transformação linear de tal que e . Determine uma base para o núcleo de ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares. A questão nos dá uma transformação linear e algumas imagens de vetores específicos. Nosso objetivo é encontrar uma base para o núcleo de . Para isso, vamos precisar lembrar como encontrar o núcleo de uma transformação linear e usar as informações dadas para montar um sistema de equações que nos ajude a descobrir esse núcleo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar todos esses vetores .

Passo 3

Vamos representar a transformação linear por uma matriz. Sabemos que uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Os vetores coluna de são as imagens dos vetores da base padrão de . Mas como não temos a matriz completa, vamos usar os vetores dados para montar o sistema de equações.

Passo 4

Sabemos que:
Vamos considerar um vetor genérico . Queremos encontrar tais que .

Passo 5

Expressando a transformação linear como uma combinação linear dos vetores dados:
Substituindo os valores conhecidos:

Passo 6

Agora, vamos igualar as componentes:
Como já sabemos que , a segunda equação simplifica para:

Passo 7

Simplificando a equação:
Isso significa que está relacionado a por essa equação. Podemos escolher como parâmetro livre, digamos , onde é um número real qualquer.

Passo 8

Então, temos:
Podemos escrever o vetor como:

Resposta

Uma base para o núcleo de é o conjunto .

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