Seja T uma transformação linear de R^3 em R^2 tal que T(1,0,0)=(1,3), T(1,1,0)=(0,4) e T(4,0,1)=(0,20). Determine uma base para o núcleo de T;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares. A questão nos dá uma transformação linear e algumas imagens de vetores específicos. Nosso objetivo é encontrar uma base para o núcleo de . Para isso, vamos precisar lembrar como encontrar o núcleo de uma transformação linear e usar as informações dadas para montar um sistema de equações que nos ajude a descobrir esse núcleo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de ker(T) = x in R^3 mid T(x) = 0 , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar todos esses vetores .

Passo 3

Vamos representar a transformação linear por uma matriz. Sabemos que uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Os vetores coluna de são as imagens dos vetores da base padrão de . Mas como não temos a matriz completa, vamos usar os vetores dados para montar o sistema de equações.

Passo 4

Sabemos que:
T(1,0,0) = (1,3)
T(1,1,0) = (0,4)
T(4,0,1) = (0,20)
Vamos considerar um vetor genérico . Queremos encontrar tais que .

Passo 5

Expressando a transformação linear T(x, y, z) = x cdot T(1,0,0) + y cdot T(1,1,0) + z cdot T(4,0,1) como uma combinação linear dos vetores dados:
T(x, y, z) = x cdot (1,3) + y cdot (0,4) + z cdot (0,20) = (0,0)
Substituindo os valores conhecidos:

Passo 6

Agora, vamos igualar as componentes:
x cdot 1 + y cdot 0 + z cdot 0 = 0 Rightarrow x = 0
x cdot 3 + y cdot 4 + z cdot 20 = 0 Rightarrow 3x + 4y + 20z = 0
Como já sabemos que 4y + 20z = 0 , a segunda equação simplifica para:

Passo 7

Simplificando a equação:
4y + 20z = 0 Rightarrow y = -5z
Isso significa que está relacionado a por essa equação. Podemos escolher como parâmetro livre, digamos , onde é um número real qualquer.

Passo 8

Então, temos:
x = 0
y = -5t
z = t
Podemos escrever o vetor x = 0 -5t t = t 0 -5 1 como:

Resposta

Uma base para o núcleo de ,0, ,-5, ,1, é o conjunto .

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