Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que
é uma solução da equação de Riccati dada e, depois, encontrar a solução geral dessa equação. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais, especificamente as equações de Riccati, que são um tipo especial de equação não linear. Para resolver isso, vamos precisar verificar se
satisfaz a equação e depois usar técnicas para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
realmente é uma solução da equação. Para isso, vamos substituir
por
na equação e ver se a igualdade se mantém.
A equação dada é:
Vamos calcular
quando
:
Substituindo
e
na equação:
Como os dois lados são iguais,
é realmente uma solução da equação.
Passo 3
Agora que confirmamos que
é uma solução, vamos encontrar a solução geral da equação de Riccati. Uma maneira de resolver equações de Riccati é fazendo uma substituição que transforma a equação em uma equação linear.
Sabemos que se
é uma solução particular da equação de Riccati, podemos escrever a solução geral
como:
onde
é uma função a ser determinada.
Neste caso,
, então substituímos na equação:
Vamos agora derivar
:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Cancelando
dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, rearranjamos para obter uma equação linear em
:
Dividindo toda a equação por 2:
Passo 4
Agora temos uma equação linear de primeira ordem na forma:
onde
e
Para resolver essa equação, vamos utilizar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
A equação se torna:
Integrando ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora que encontramos
, podemos substituir de volta na expressão para
:
Para simplificar, vamos escrever:
Podemos multiplicar numerador e denominador por 2 para eliminar a fração:
Vamos renomear
como uma nova constante
:
Essa é a solução geral da equação de Riccati dada.
Resposta
A solução geral da equação é
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(a)
(a)
Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(g)
(g)
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(f)
(f)
Identificar as quádricas representadas pelas equaçōes: