Mostre que é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que é uma solução da equação de Riccati dada e, depois, encontrar a solução geral dessa equação. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais, especificamente as equações de Riccati, que são um tipo especial de equação não linear. Para resolver isso, vamos precisar verificar se satisfaz a equação e depois usar técnicas para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente é uma solução da equação. Para isso, vamos substituir por na equação e ver se a igualdade se mantém.
A equação dada é:
Vamos calcular quando :
Substituindo e na equação:
Como os dois lados são iguais, é realmente uma solução da equação.

Passo 3

Agora que confirmamos que é uma solução, vamos encontrar a solução geral da equação de Riccati. Uma maneira de resolver equações de Riccati é fazendo uma substituição que transforma a equação em uma equação linear.
Sabemos que se é uma solução particular da equação de Riccati, podemos escrever a solução geral como:
onde é uma função a ser determinada.
Neste caso, , então substituímos na equação:
Vamos agora derivar :
Substituindo e na equação original:
Simplificando os termos:
Cancelando dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, rearranjamos para obter uma equação linear em :
Dividindo toda a equação por 2:

Passo 4

Agora temos uma equação linear de primeira ordem na forma:
onde
e
Para resolver essa equação, vamos utilizar o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação por :
A equação se torna:
Integrando ambos os lados:
onde é a constante de integração.
Resolvendo para :

Passo 5

Agora que encontramos , podemos substituir de volta na expressão para :
Para simplificar, vamos escrever:
Podemos multiplicar numerador e denominador por 2 para eliminar a fração:
Vamos renomear como uma nova constante :
Essa é a solução geral da equação de Riccati dada.

Resposta

A solução geral da equação é
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Mostre que é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(a)
Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(g)
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(f)
Identificar as quádricas representadas pelas equaçōes: