Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui. A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem:
O conteúdo que vamos usar para resolver isso é equações diferenciais exatas. Vamos precisar verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação na forma:
é exata se existir uma função
tal que:
Para verificar se a equação é exata, a gente checa se:
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Como vimos:
Como essas duas derivadas são iguais, a equação é exata!
Passo 5
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função
tal que:
Integrando
em relação a
:
onde
é uma função de
que precisamos determinar.
Passo 6
Agora, vamos usar a segunda condição:
Calculando a derivada de
:
Então, temos:
Integrando
em relação a
:
Passo 7
Substituindo
na função
:
A solução geral da equação diferencial é dada por
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Onde
é uma constante qualquer.
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Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
©
©
Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(a)
(a)
Identificar as quádricas representadas pelas equaçōes:
Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(f)
(f)