Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(f)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui. A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem:
O conteúdo que vamos usar para resolver isso é equações diferenciais exatas. Vamos precisar verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação na forma:
é exata se existir uma função tal que:
Para verificar se a equação é exata, a gente checa se:

Passo 3

Vamos identificar e na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Como vimos:
Como essas duas derivadas são iguais, a equação é exata!

Passo 5

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função tal que:
Integrando em relação a :
onde é uma função de que precisamos determinar.

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda condição:
Calculando a derivada de :
Então, temos:
Integrando em relação a :

Passo 7

Substituindo na função :
A solução geral da equação diferencial é dada por :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
Onde é uma constante qualquer.

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Mostre que é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
©
Mostre que é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(a)
Identificar as quádricas representadas pelas equaçōes:
Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(f)