Resolva os ítens abaixo sobre fatores integrantes:
(b) A equação
tem
como fator integrante. Determine todas as possíveis funções
.
(b) A equação
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A gente tem a equação diferencial
e sabe que
é um fator integrante. Nosso objetivo aqui é encontrar todas as funções
que fazem essa equação funcionar direitinho. Vamos usar o conceito de fator integrante, que ajuda a transformar uma equação diferencial não exata em exata, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação do tipo
é exata se satisfaz
. No nosso caso, temos
e
. Vamos verificar essa condição.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Para a equação ser exata, precisamos que
, ou seja:
Passo 4
Resolvendo
, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é uma constante de integração. Mas como estamos procurando por todas as funções
que funcionam com o fator integrante
, podemos considerar
para simplificar, já que a constante pode ser absorvida no fator integrante.
Passo 5
Portanto, a única função
que satisfaz a condição é:
Resposta
A função
que satisfaz a equação dada com o fator integrante
é
.
Exercícios relacionados
Determine a derivada da função vetorial.
sen
Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(d)
(d)
(3,0 p)-Determines se as séries são convergentes:
(3,0 p)-Determines se as séries são convergentes: