Resolva os ítens abaixo sobre fatores integrantes:
(b) A equação tem como fator integrante. Determine todas as possíveis funções .

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A gente tem a equação diferencial e sabe que é um fator integrante. Nosso objetivo aqui é encontrar todas as funções que fazem essa equação funcionar direitinho. Vamos usar o conceito de fator integrante, que ajuda a transformar uma equação diferencial não exata em exata, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação do tipo é exata se satisfaz . No nosso caso, temos e . Vamos verificar essa condição.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Para a equação ser exata, precisamos que , ou seja:

Passo 4

Resolvendo , integramos ambos os lados em relação a :
Onde é uma constante de integração. Mas como estamos procurando por todas as funções que funcionam com o fator integrante , podemos considerar para simplificar, já que a constante pode ser absorvida no fator integrante.

Passo 5

Portanto, a única função que satisfaz a condição é:

Resposta

A função que satisfaz a equação dada com o fator integrante é .

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Determine a derivada da função vetorial.
sen
Mostre que é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(d)
(3,0 p)-Determines se as séries são convergentes:
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