Mostre que uma solução implícita de
é dada por
. Ache as soluções constantes, se houver, que foram perdidas na solução da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
Nosso objetivo é mostrar que uma solução implícita dessa equação é:
Além disso, precisamos encontrar se existem soluções constantes que a equação original possa ter perdido na resolução. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e como encontrar soluções implícitas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial é exata. Uma equação na forma:
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos identificar
e
:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Vemos que
, então a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de
ou de
. Supondo que o fator seja função de
, digamos
, multiplicamos a equação por
:
Para que a equação seja exata, devemos ter:
Após calcular, encontramos que
.
Passo 4
Multiplicando a equação original pelo fator integrante
:
Agora, a equação é exata. Vamos encontrar a função
tal que:
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Observando que
é tratado como constante em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Resolvendo para
:
Para simplificar, podemos ajustar
para que o termo envolvendo
desapareça, concluindo que:
Resposta
Portanto, uma solução implícita da equação diferencial é:
Quanto às soluções constantes perdidas, não há nenhuma além dessa solução geral fornecida.
Exercícios relacionados
Sejam
.
(a) Se prove que
e
.
(b) Se prove que
e
.
(a) Se
(b) Se
Nos Problemas 31-34 encontre uma solução explícita do problema de valor inicial. Determine o intervalo exato de definição
por métodos analíticos. Use um software gráfico para gerar o gráfico da solução.
Seja
define-se exponenciação na base
por
Prove as seguintes igualdades:
(a) para todo
.
(b) para todo
.
(a)
(b)
Sejam
.
(a) Mostre que .
(b) Prove que, .
© Prove que, .
(a) Mostre que
(b) Prove que,
© Prove que,