Mostre que uma solução implícita de
é dada por . Ache as soluções constantes, se houver, que foram perdidas na solução da equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
Nosso objetivo é mostrar que uma solução implícita dessa equação é:
Além disso, precisamos encontrar se existem soluções constantes que a equação original possa ter perdido na resolução. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e como encontrar soluções implícitas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial é exata. Uma equação na forma:
é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos identificar e :
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Vemos que , então a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de ou de . Supondo que o fator seja função de , digamos , multiplicamos a equação por :
Para que a equação seja exata, devemos ter:
Após calcular, encontramos que .

Passo 4

Multiplicando a equação original pelo fator integrante :
Agora, a equação é exata. Vamos encontrar a função tal que:

Passo 5

Integrando em relação a :
Observando que é tratado como constante em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Resolvendo para :
Para simplificar, podemos ajustar para que o termo envolvendo desapareça, concluindo que:

Resposta

Portanto, uma solução implícita da equação diferencial é:
Quanto às soluções constantes perdidas, não há nenhuma além dessa solução geral fornecida.

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(b) Se prove que e .
Nos Problemas 31-34 encontre uma solução explícita do problema de valor inicial. Determine o intervalo exato de definição por métodos analíticos. Use um software gráfico para gerar o gráfico da solução.
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(b) para todo .
Sejam .
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(b) Prove que, .
© Prove que, .