Nos Problemas 31-34 encontre uma solução explícita do problema de valor inicial. Determine o intervalo exato de definição por métodos analíticos. Use um software gráfico para gerar o gráfico da solução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. O objetivo é encontrar a solução explícita dessa equação, determinar o intervalo onde a solução é válida e, se possível, desenhar o gráfico usando um software. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente resolução de equações diferenciais separáveis e análise de intervalos de definição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial dada:
E o valor inicial: .

Passo 3

A equação é separável, o que significa que podemos separar as variáveis e de cada lado da equação. Vamos multiplicar ambos os lados por para facilitar essa separação:

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados para encontrar em termos de :
Ao integrar, obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para encontrar o valor de , usamos o valor inicial fornecido . Substituímos e na equação:

Passo 6

Substituindo na equação geral, temos:
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Mas, como é negativo, escolhemos a raiz negativa:

Passo 7

Agora, precisamos determinar o intervalo de definição onde a solução é válida. Para que a expressão dentro da raiz seja real, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero:
Resolvendo a inequação quadrática, encontramos as raízes usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, a solução é válida para:
Como o valor inicial está na primeira parte do intervalo, nosso intervalo de definição será:

Resposta

A solução explícita do problema é:
E o intervalo exato de definição é:

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Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função.
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Sejam .
(a) Se prove que e .
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Mostre que uma solução implícita de
é dada por . Ache as soluções constantes, se houver, que foram perdidas na solução da equação diferencial.