Nos Problemas 31-34 encontre uma solução explícita do problema de valor inicial. Determine o intervalo exato de definição
por métodos analíticos. Use um software gráfico para gerar o gráfico da solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. O objetivo é encontrar a solução explícita dessa equação, determinar o intervalo onde a solução é válida e, se possível, desenhar o gráfico usando um software. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente resolução de equações diferenciais separáveis e análise de intervalos de definição.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial dada:
E o valor inicial:
.
Passo 3
A equação é separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
de cada lado da equação. Vamos multiplicar ambos os lados por
para facilitar essa separação:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados para encontrar
em termos de
:
Ao integrar, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para encontrar o valor de
, usamos o valor inicial fornecido
. Substituímos
e
na equação:
Passo 6
Substituindo
na equação geral, temos:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Mas, como
é negativo, escolhemos a raiz negativa:
Passo 7
Agora, precisamos determinar o intervalo de definição
onde a solução é válida. Para que a expressão dentro da raiz seja real, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero:
Resolvendo a inequação quadrática, encontramos as raízes usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, a solução é válida para:
Como o valor inicial
está na primeira parte do intervalo, nosso intervalo de definição será:
Resposta
A solução explícita do problema é:
E o intervalo exato de definição é:
Exercícios relacionados
Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função.
Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função.
Sejam
.
(a) Se prove que
e
.
(b) Se prove que
e
.
(a) Se
(b) Se
Mostre que uma solução implícita de
é dada por
. Ache as soluções constantes, se houver, que foram perdidas na solução da equação diferencial.