Seja a pertence a N define-se exponenciação na base a por
a^1 = a, a^(n+1) = a^n * a, para todo n em N.
Prove as seguintes igualdades:
(a) a^m * a^n = a^(m+n) para todo m, n em N.
(b) (a^m)^n = a^(m*n) para todo m, n em N.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um número natural e uma definição de exponenciação baseada em . Precisamos provar duas igualdades envolvendo potências de . Para resolver isso, vamos precisar entender como as potências são definidas e aplicar propriedades básicas da multiplicação.

Passo 2

Vamos começar provando a primeira igualdade: para todo .

Passo 3

Primeiro, lembramos da definição de :
Isso significa que cada potência de é o produto de multiplicado por si mesmo vezes.

Passo 4

Para provar , vamos usar o princípio de indução matemática.

Passo 5

Passo Base: Vamos verificar para .
E , então a igualdade vale para .

Passo 6

Passo Indutivo: Suponha que seja verdadeiro para algum . Precisamos mostrar que .

Passo 7

Usando a definição de exponenciação:
Então:
Pela hipótese de indução:
Assim, a igualdade vale para .

Passo 8

Pelo princípio da indução matemática, concluímos que é verdadeiro para todo .

Passo 9

Agora, vamos provar a segunda igualdade: para todo .

Passo 10

Novamente, usaremos indução matemática para provar essa igualdade.

Passo 11

Passo Base: Vamos verificar para .
E , então a igualdade vale para .

Passo 12

Passo Indutivo: Suponha que seja verdadeiro para algum . Precisamos mostrar que .

Passo 13

Usando a definição de exponenciação:
Pela hipótese de indução:
Assim, a igualdade vale para .

Passo 14

Pelo princípio da indução matemática, concluímos que é verdadeiro para todo .

Resposta

As igualdades e são verdadeiras para todo .

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