Seja
define-se exponenciação na base
por
Prove as seguintes igualdades:
(a)
para todo
.
(b)
para todo
.
(a)
(b)
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um número natural
e uma definição de exponenciação baseada em
. Precisamos provar duas igualdades envolvendo potências de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como as potências são definidas e aplicar propriedades básicas da multiplicação.
Passo 2
Vamos começar provando a primeira igualdade:
para todo
.
Passo 3
Primeiro, lembramos da definição de
:
Isso significa que cada potência de
é o produto de
multiplicado por si mesmo
vezes.
Passo 4
Para provar
, vamos usar o princípio de indução matemática.
Passo 5
Passo Base: Vamos verificar para
.
E
, então a igualdade vale para
.
Passo 6
Passo Indutivo: Suponha que
seja verdadeiro para algum
. Precisamos mostrar que
.
Passo 7
Usando a definição de exponenciação:
Então:
Pela hipótese de indução:
Assim, a igualdade vale para
.
Passo 8
Pelo princípio da indução matemática, concluímos que
é verdadeiro para todo
.
Passo 9
Agora, vamos provar a segunda igualdade:
para todo
.
Passo 10
Novamente, usaremos indução matemática para provar essa igualdade.
Passo 11
Passo Base: Vamos verificar para
.
E
, então a igualdade vale para
.
Passo 12
Passo Indutivo: Suponha que
seja verdadeiro para algum
. Precisamos mostrar que
.
Passo 13
Usando a definição de exponenciação:
Pela hipótese de indução:
Assim, a igualdade vale para
.
Passo 14
Pelo princípio da indução matemática, concluímos que
é verdadeiro para todo
.
Resposta
As igualdades
e
são verdadeiras para todo
.
Exercícios relacionados
Mostre que uma solução implícita de
é dada por
. Ache as soluções constantes, se houver, que foram perdidas na solução da equação diferencial.
Sejam
.
(a) Se prove que
e
.
(b) Se prove que
e
.
(a) Se
(b) Se
Sejam
.
(a) Mostre que .
(b) Prove que, .
© Prove que, .
(a) Mostre que
(b) Prove que,
© Prove que,
Seja
. Mostre que não existe número natural
tal que
.