Sejam
.
(a) Se
prove que
e
.
(b) Se
prove que
e
.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver os dois exercícios que envolvem números naturais e algumas operações básicas. No primeiro, a gente precisa provar que se a soma de dois números naturais é 2, então cada um deles é 1. No segundo, a gente tem que mostrar que se o produto de dois números naturais é 1, então também cada um deles é 1. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra simples e as propriedades dos números naturais.
Passo 2
Parte (a): Se
, prove que
e
.
Primeiro, sabemos que
e
são números naturais, ou seja,
. Os números naturais são os números inteiros positivos: 1, 2, 3, etc.
Vamos listar todas as combinações possíveis de
e
que somam 2:
- Se
, então porque . - Se
, então , mas 0 não é considerado um número natural positivo. - Números maiores que 2 para
ou resultariam em uma soma maior que 2.
Assim, a única combinação válida com números naturais é
e
.
Passo 3
Parte (b): Se
, prove que
e
.
Aqui, novamente,
e
são números naturais. Vamos pensar em quais números multiplicados dão 1:
- O único par de números naturais que multiplicados resultam em 1 é
. - Qualquer outro número natural maior que 1 multiplicado por qualquer outro também dará um produto maior que 1.
Portanto, a única solução possível é
e
.
Resposta
Para ambos os casos, temos que
e
.
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. Ache as soluções constantes, se houver, que foram perdidas na solução da equação diferencial.
Seja
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por
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(a) para todo
.
(b) para todo
.
(a)
(b)