Sejam
.
(a) Mostre que
.
(b) Prove que,
.
© Prove que,
.
(a) Mostre que
(b) Prove que,
© Prove que,
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! Temos três números naturais
. O que a gente precisa fazer está dividido em três partes:
a) Mostrar que
.
b) Provar que
é equivalente a
.
c) Provar que
é equivalente a
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra e propriedades das desigualdades. Vamos passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Mostrar que
.
Primeiro, vamos entender o que significa
. Basicamente, queremos provar que multiplicar
por
não diminui o valor de
.
Sabemos que
é um número natural, então
. Quando multiplicamos
por um número maior ou igual a 1, o resultado será pelo menos
.
Então,
será igual a
se
, ou maior que
se
. Isso confirma que
.
Passo 3
Parte (b): Provar que
.
Aqui, queremos mostrar que adicionar o mesmo número
a ambos
e
mantém a relação de desigualdade.
Começando com
:
- Se você soma
em ambos os lados, a desigualdade ainda vale: .
Agora, se
:
- Subtraindo
de ambos os lados, voltamos a .
Portanto,
é equivalente a
.
Passo 4
Parte ©: Provar que
.
Aqui, queremos mostrar que multiplicar ambos
e
pelo mesmo número
mantém a relação de desigualdade.
Assumindo que
é um número natural positivo (
):
-
Se
, multiplicando ambos por , temos , já que é positivo e a desigualdade é preservada. -
Se
, e é positivo, podemos dividir ambos os lados por (o que não altera a direção da desigualdade), resultando em .
Portanto,
é equivalente a
.
Resposta
Propriamente, mostramos que:
a)
.
b)
.
c)
.
Exercícios relacionados
Seja
define-se exponenciação na base
por
Prove as seguintes igualdades:
(a) para todo
.
(b) para todo
.
(a)
(b)
Mostre que uma solução implícita de
é dada por
. Ache as soluções constantes, se houver, que foram perdidas na solução da equação diferencial.
Seja
. Mostre que não existe número natural
tal que
.
Sabendo que
, mostre as seguintes caracterizações em
:
(a) ,
(b) ,
© .
(a)
(b)
©