Sejam m, n, k em N.
(a) Mostre que m <= m n.
(b) Prove que, m < n <=> m + k < n + k.
© Prove que, m < n <=> m * k < n * k.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! Temos três números naturais . O que a gente precisa fazer está dividido em três partes:
a) Mostrar que .
b) Provar que é equivalente a .
c) Provar que é equivalente a .
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra e propriedades das desigualdades. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Mostrar que .
Primeiro, vamos entender o que significa . Basicamente, queremos provar que multiplicar por não diminui o valor de .
Sabemos que é um número natural, então . Quando multiplicamos por um número maior ou igual a 1, o resultado será pelo menos .
Então, será igual a se , ou maior que se . Isso confirma que .

Passo 3

Parte (b): Provar que .
Aqui, queremos mostrar que adicionar o mesmo número a ambos e mantém a relação de desigualdade.
Começando com :
  • Se você soma em ambos os lados, a desigualdade ainda vale: .
Agora, se :
  • Subtraindo de ambos os lados, voltamos a .
Portanto, é equivalente a .

Passo 4

Parte ©: Provar que .
Aqui, queremos mostrar que multiplicar ambos e pelo mesmo número mantém a relação de desigualdade.
Assumindo que é um número natural positivo ( ):
  • Se , multiplicando ambos por , temos , já que é positivo e a desigualdade é preservada.
  • Se , e é positivo, podemos dividir ambos os lados por (o que não altera a direção da desigualdade), resultando em .
Portanto, é equivalente a .

Resposta

Propriamente, mostramos que:
a) .
b) .
c) .

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