Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. O conteúdo que vamos usar é o método da variação dos parâmetros. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, em seguida, uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, escrevemos a equação característica:
Resolvendo para
:
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. Esse método assume que as constantes
e
na solução homogênea são, na verdade, funções de
. Então, supomos:
Nosso objetivo é determinar
e
.
Passo 4
Primeiro, encontramos as derivadas de
:
Para simplificar, impomos a condição:
Isso nos dá um sistema de equações para
e
:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
Agora, integramos para achar
e
:
Simplificando as integrais:
Para
:
Fazendo a substituição
,
:
Ignoramos a constante de integração, pois estamos procurando uma solução particular:
Para
:
Simplificando:
A integral de
é
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Sejam
e
funções diferenciáveis no intervalo
. Mostrar que para todo
,
Mostre que
e
são linearmente independentes em
. Mostre, também, que
é zero em
. O que você pode concluir sobre a possibilidade de
e
serem soluções de uma equação diferencial da forma
? Verifique que
e
são soluções da equação
. Isso contradiz sua conclusão? O comportamento do wronskiano de
e
contradiz o Teorema de Abel?
Mostre que a solução de
,
e
, é