Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. O conteúdo que vamos usar é o método da variação dos parâmetros. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, em seguida, uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, escrevemos a equação característica:
Resolvendo para :
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. Esse método assume que as constantes e na solução homogênea são, na verdade, funções de . Então, supomos:
Nosso objetivo é determinar e .

Passo 4

Primeiro, encontramos as derivadas de :
Para simplificar, impomos a condição:
Isso nos dá um sistema de equações para e :
Resolvendo esse sistema, encontramos:
Agora, integramos para achar e :
Simplificando as integrais:
Para :
Fazendo a substituição , :
Ignoramos a constante de integração, pois estamos procurando uma solução particular:
Para :
Simplificando:
A integral de é :

Passo 5

Agora, substituímos e na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Mostre que a solução de , e , é