Se
e
, mostre que
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência
onde cada termo
é positivo, e sabemos que
. Queremos mostrar que
.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites de funções e propriedades das funções contínuas. Vamos seguir passo a passo para demonstrar isso de forma clara.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
e que todos os termos
são positivos, ou seja,
para todo
. Isso implica que o limite
também é um número positivo ou zero, pois o limite de uma sequência de números positivos não pode ser negativo.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a função raiz quadrada, definida por
, é contínua para todos os
. Uma função contínua é aquela que não “quebra” e para a qual o limite da função na vizinhança de um ponto é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 4
Pela propriedade das funções contínuas, se temos que
e
é contínua em
, então podemos aplicar o limite diretamente dentro da função. Ou seja:
Resposta
Portanto,
.