Se xn>0, forall n in N e lim n infty xn=a, mostre que lim n infty raizxn=raiza.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência (xn) onde cada termo xn é positivo, e sabemos que limn to infty xn = a. Queremos mostrar que limn to infty raizxn = raiza.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites de funções e propriedades das funções contínuas. Vamos seguir passo a passo para demonstrar isso de forma clara.

Passo 2

Primeiro, sabemos que limn to infty xn = a e que todos os termos xn são positivos, ou seja, xn > 0 para todo n in N. Isso implica que o limite a também é um número positivo ou zero, pois o limite de uma sequência de números positivos não pode ser negativo.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a função raiz quadrada, definida por f(x) = raizx, é contínua para todos os x >= 0. Uma função contínua é aquela que não “quebra” e para a qual o limite da função na vizinhança de um ponto é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 4

Pela propriedade das funções contínuas, se temos que limn to infty xn = a e f(x) = raizx é contínua em a, então podemos aplicar o limite diretamente dentro da função. Ou seja:
limn to infty raizxn = raizlimn to infty xn = raiza

Resposta

Portanto, limn infty raizxn = raiza.

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