Se e , mostre que .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência onde cada termo é positivo, e sabemos que . Queremos mostrar que .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites de funções e propriedades das funções contínuas. Vamos seguir passo a passo para demonstrar isso de forma clara.

Passo 2

Primeiro, sabemos que e que todos os termos são positivos, ou seja, para todo . Isso implica que o limite também é um número positivo ou zero, pois o limite de uma sequência de números positivos não pode ser negativo.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a função raiz quadrada, definida por , é contínua para todos os . Uma função contínua é aquela que não “quebra” e para a qual o limite da função na vizinhança de um ponto é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 4

Pela propriedade das funções contínuas, se temos que e é contínua em , então podemos aplicar o limite diretamente dentro da função. Ou seja:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Mostre que a soma de duas funções limitadas é uma função limitada.
Seja e . Determine a série de Fourier da função .
Sejam . Mostre que
b) , com é solução da equação .
Use o Teorema de Stokes para calcular , para é o triângulo com vértice e . A curva está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.