Mostre que se
tem elemento mínimo, então ele é único.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um conjunto
que é um subconjunto dos números inteiros
e que esse conjunto tem um elemento mínimo. Nosso objetivo é mostrar que esse elemento mínimo é único. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de teoria dos números inteiros e propriedades de conjuntos ordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ter um elemento mínimo. Em
, um elemento
é mínimo em
se para todo elemento
em
, temos
. Agora, vamos supor que existam dois elementos mínimos diferentes, digamos
e
.
Passo 3
Como
e
são ambos mínimos, devemos ter que
e também
. Na teoria dos números inteiros, se
e
, isso só pode acontecer se
. Portanto, os dois elementos mínimos devem ser iguais.
Passo 4
Essa conclusão mostra que não pode existir mais de um elemento mínimo em
, já que qualquer dois mínimos diferentes teriam que ser iguais, ou seja, na realidade é apenas um único elemento mínimo.
Resposta
Portanto, se
tem um elemento mínimo, esse elemento mínimo é único.
Exercícios relacionados
Utilize a Equação 6 para determinar
.
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
;
quando
Usando o axioma (PBO), mostre que todo subconjunto não vazio de
tem elemento mínimo.
Utilize as Equações 7 para determinar
e
.