Mostre que se tem elemento mínimo, então ele é único.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um conjunto que é um subconjunto dos números inteiros e que esse conjunto tem um elemento mínimo. Nosso objetivo é mostrar que esse elemento mínimo é único. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de teoria dos números inteiros e propriedades de conjuntos ordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ter um elemento mínimo. Em , um elemento é mínimo em se para todo elemento em , temos . Agora, vamos supor que existam dois elementos mínimos diferentes, digamos e .

Passo 3

Como e são ambos mínimos, devemos ter que e também . Na teoria dos números inteiros, se e , isso só pode acontecer se . Portanto, os dois elementos mínimos devem ser iguais.

Passo 4

Essa conclusão mostra que não pode existir mais de um elemento mínimo em , já que qualquer dois mínimos diferentes teriam que ser iguais, ou seja, na realidade é apenas um único elemento mínimo.

Resposta

Portanto, se tem um elemento mínimo, esse elemento mínimo é único.

Exercícios relacionados

Utilize a Equação 6 para determinar .
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
;
quando
Usando o axioma (PBO), mostre que todo subconjunto não vazio de tem elemento mínimo.
Utilize as Equações 7 para determinar e .