Mostre que se T: R^2 R^2 for um operador ortogonal, sua matriz em relação à base canônica só pode ser da forma
A=[cc cos (alpha) & -sin (alpha) sin (alpha) & cos (alpha) ]
ou
B=[cc cos (alpha) & sin (alpha) -sin (alpha) & cos (alpha) ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se for um operador ortogonal, sua matriz na base canônica só pode ter duas formas específicas usando cosseno e seno de um ângulo . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um operador ortogonal e como representamos matrizes de transformações lineares no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador ortogonal. Em geometria, um operador ortogonal é uma transformação linear que preserva os comprimentos e os ângulos, ou seja, ele não distorce a figura. Matematicamente, uma matriz é ortogonal se , onde é a transposta de e é a matriz identidade.

Passo 3

Agora, vamos considerar uma matriz geral A = a & b c & d 2x2:
A^T A = a & c b & d a & b c & d = a^2 + c^2 & ab + cd ab + cd & b^2 + d^2
Para que a^2 + c^2 & ab + cd ab + cd & b^2 + d^2 = 1 & 0 0 & 1 seja ortogonal, deve satisfazer . Vamos calcular :
Igualando isso à matriz identidade :
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos interpretar essas equações. A primeira e a segunda equação nos dizem que os vetores coluna de a = cos(alpha), c = sin(alpha) são vetores unitários (têm comprimento 1). A terceira equação nos diz que esses vetores são ortogonais entre si (produto interno igual a zero).
Isso significa que os vetores podem ser vistos como vetores de um círculo unitário com um ângulo . Então, podemos representar e como e , respectivamente:

Passo 5

Agora, usando a terceira equação cos(alpha) b + sin(alpha) d = 0 , substituímos d = -cos(alpha)sin(alpha) b = -cot(alpha) b e b^2 + (-cot(alpha) b)^2 = 1 :
b^2 + cot^2(alpha) b^2 = 1 b^2 (1 + cot^2(alpha)) = 1 b^2 csc^2(alpha) = 1 b^2 = sin^2(alpha) b = pm sin(alpha)
Podemos resolver para :
Mas também sabemos que . Substituindo :
Simplificando:

Passo 6

Escolhemos A = cos(alpha) & -sin(alpha) sin(alpha) & cos(alpha) para uma das formas e B = cos(alpha) & sin(alpha) -sin(alpha) & cos(alpha) para a outra. Assim, quando , temos , formando a matriz:
E quando , temos , formando a matriz:

Resposta

Portanto, se A = cos(alpha) & -sin(alpha) sin(alpha) & cos(alpha) for um operador ortogonal, sua matriz na base canônica só pode ser da forma:
B = cos(alpha) & sin(alpha) -sin(alpha) & cos(alpha)
ou

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