Mostre que se
for um operador ortogonal, sua matriz em relação à base canônica só pode ser da forma
ou
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se
for um operador ortogonal, sua matriz na base canônica só pode ter duas formas específicas usando cosseno e seno de um ângulo
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um operador ortogonal e como representamos matrizes de transformações lineares no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador ortogonal. Em geometria, um operador ortogonal é uma transformação linear que preserva os comprimentos e os ângulos, ou seja, ele não distorce a figura. Matematicamente, uma matriz
é ortogonal se
, onde
é a transposta de
e
é a matriz identidade.
Passo 3
Agora, vamos considerar uma matriz geral
2x2:
Para que
seja ortogonal, deve satisfazer
. Vamos calcular
:
Igualando isso à matriz identidade
:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos interpretar essas equações. A primeira e a segunda equação nos dizem que os vetores coluna de
são vetores unitários (têm comprimento 1). A terceira equação nos diz que esses vetores são ortogonais entre si (produto interno igual a zero).
Isso significa que os vetores podem ser vistos como vetores de um círculo unitário com um ângulo
. Então, podemos representar
e
como
e
, respectivamente:
Passo 5
Agora, usando a terceira equação
, substituímos
e
:
Podemos resolver para
:
Mas também sabemos que
. Substituindo
:
Simplificando:
Passo 6
Escolhemos
para uma das formas e
para a outra. Assim, quando
, temos
, formando a matriz:
E quando
, temos
, formando a matriz:
Resposta
Portanto, se
for um operador ortogonal, sua matriz na base canônica só pode ser da forma:
ou
Exercícios relacionados
Prove que
é ortogonal a qualquer combinação linear de
e
.
Sabendo que
e
, calcule
.
Verifique se os conjuntos de vetores apresentados abaixo constituem conjuntos Linearmente Independentes. Em seguida, utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, encontre bases ortonormais para cada conjunto apresentado.
Verifique se os conjuntos de vetores apresentados abaixo constituem conjuntos Linearmente Independentes. Em seguida, utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, encontre bases ortonormais para cada conjunto apresentado.