Mostre que se for um operador ortogonal, sua matriz em relação à base canônica só pode ser da forma
ou

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se for um operador ortogonal, sua matriz na base canônica só pode ter duas formas específicas usando cosseno e seno de um ângulo . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um operador ortogonal e como representamos matrizes de transformações lineares no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador ortogonal. Em geometria, um operador ortogonal é uma transformação linear que preserva os comprimentos e os ângulos, ou seja, ele não distorce a figura. Matematicamente, uma matriz é ortogonal se , onde é a transposta de e é a matriz identidade.

Passo 3

Agora, vamos considerar uma matriz geral 2x2:
Para que seja ortogonal, deve satisfazer . Vamos calcular :
Igualando isso à matriz identidade :
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos interpretar essas equações. A primeira e a segunda equação nos dizem que os vetores coluna de são vetores unitários (têm comprimento 1). A terceira equação nos diz que esses vetores são ortogonais entre si (produto interno igual a zero).
Isso significa que os vetores podem ser vistos como vetores de um círculo unitário com um ângulo . Então, podemos representar e como e , respectivamente:

Passo 5

Agora, usando a terceira equação , substituímos e :
Podemos resolver para :
Mas também sabemos que . Substituindo :
Simplificando:

Passo 6

Escolhemos para uma das formas e para a outra. Assim, quando , temos , formando a matriz:
E quando , temos , formando a matriz:

Resposta

Portanto, se for um operador ortogonal, sua matriz na base canônica só pode ser da forma:
ou

Exercícios relacionados

Prove que é ortogonal a qualquer combinação linear de e .
Sabendo que e , calcule .
Verifique se os conjuntos de vetores apresentados abaixo constituem conjuntos Linearmente Independentes. Em seguida, utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, encontre bases ortonormais para cada conjunto apresentado.
Verifique se os conjuntos de vetores apresentados abaixo constituem conjuntos Linearmente Independentes. Em seguida, utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, encontre bases ortonormais para cada conjunto apresentado.