Verifique se os conjuntos de vetores apresentados abaixo constituem conjuntos Linearmente Independentes. Em seguida, utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, encontre bases ortonormais para cada conjunto apresentado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se um conjunto de vetores é linearmente independente e, se for, encontrar uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Os vetores que temos são , e . Vamos precisar entender o que é independência linear e como funciona a ortogonalização de Gram-Schmidt para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores , e são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.
Matematicamente, queremos ver se a equação
tem somente a solução trivial .
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante:
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero (), os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Agora que sabemos que os vetores são independentes, vamos usar o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar e depois normalizar os vetores, formando assim uma base ortonormal.
Primeiro, vamos definir o primeiro vetor da base ortogonal:
Agora, vamos encontrar o segundo vetor ortogonal:
Onde a projeção de em é dada por:
Calculando os produtos internos:
Então,
Portanto,
Agora, vamos encontrar o terceiro vetor ortogonal:
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Então,
Passo 4
Agora que temos os vetores ortogonais , e , vamos normalizá-los para obter uma base ortonormal.
Normalizamos :
Normalizamos :
Normalizamos :
Resposta
Os vetores formam um conjunto linearmente independente e uma base ortonormal para o conjunto é dada por: