Verifique se os conjuntos de vetores apresentados abaixo constituem conjuntos Linearmente Independentes. Em seguida, utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, encontre bases ortonormais para cada conjunto apresentado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se um conjunto de vetores é linearmente independente e, se for, encontrar uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Os vetores que temos são , e . Vamos precisar entender o que é independência linear e como funciona a ortogonalização de Gram-Schmidt para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores , e são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.
Matematicamente, queremos ver se a equação
tem somente a solução trivial .
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante:
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero ( ), os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Agora que sabemos que os vetores são independentes, vamos usar o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar e depois normalizar os vetores, formando assim uma base ortonormal.
Primeiro, vamos definir o primeiro vetor da base ortogonal:
Agora, vamos encontrar o segundo vetor ortogonal:
Onde a projeção de em é dada por:
Calculando os produtos internos:
Então,
Portanto,
Agora, vamos encontrar o terceiro vetor ortogonal:
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Então,

Passo 4

Agora que temos os vetores ortogonais , e , vamos normalizá-los para obter uma base ortonormal.
Normalizamos :
Normalizamos :
Normalizamos :

Resposta

Os vetores formam um conjunto linearmente independente e uma base ortonormal para o conjunto é dada por:

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Mostre que se for um operador ortogonal, sua matriz em relação à base canônica só pode ser da forma
ou
Prove que é ortogonal a qualquer combinação linear de e .
Verifique se os conjuntos de vetores apresentados abaixo constituem conjuntos Linearmente Independentes. Em seguida, utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, encontre bases ortonormais para cada conjunto apresentado.
Verifique se todo grupo de ordem 5 é cíclico.