Verifique se os conjuntos de vetores apresentados abaixo constituem conjuntos Linearmente Independentes. Em seguida, utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, encontre bases ortonormais para cada conjunto apresentado. u=(1,0,1), v=(2,1,3), w=(0,1,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se um conjunto de vetores é linearmente independente e, se for, encontrar uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Os vetores que temos são , e . Vamos precisar entender o que é independência linear e como funciona a ortogonalização de Gram-Schmidt para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores a cdot u + b cdot v + c cdot w = 0 , 1 & 2 & 0 0 & 1 & 1 1 & 3 & 0 e 1 cdot 1 & 1 3 & 0 - 2 cdot 0 & 1 1 & 0 + 0 cdot 0 & 1 1 & 3 = 1 cdot (-3) - 2 cdot (-1) + 0 = -3 + 2 = -1 são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.
Matematicamente, queremos ver se a equação
tem somente a solução trivial .
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante:
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero ( ), os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Agora que sabemos que os vetores são independentes, vamos usar o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar e depois normalizar os vetores, formando assim uma base ortonormal.
Primeiro, vamos definir o primeiro vetor da base ortogonal:
e1 = u = (1, 0, 1)
Agora, vamos encontrar o segundo vetor ortogonal:
v' = v - proje1(v)
Onde a projeção de proje1(v) = v cdot e1e1 cdot e1 e1 em v cdot e1 = (2)(1) + (1)(0) + (3)(1) = 2 + 0 + 3 = 5 é dada por:
e1 cdot e1 = (1)^2 + (0)^2 + (1)^2 = 1 + 0 + 1 = 2
Calculando os produtos internos:
proje1(v) = 52 (1, 0, 1) = ( 52, 0, 52 )
v' = v - proje1(v) = (2 - 52, 1 - 0, 3 - 52) = ( -12, 1, 12 )
Então,
w' = w - proje1(w) - projv'(w)
Portanto,
w cdot e1 = (0)(1) + (1)(0) + (0)(1) = 0
Agora, vamos encontrar o terceiro vetor ortogonal:
proje1(w) = 02 e1 = (0, 0, 0)
Primeiro, calculamos w cdot v' = (0)(-12) + (1)(1) + (0)(12) = 0 + 1 + 0 = 1 :
v' cdot v' = (-12)^2 + (1)^2 + (12)^2 = 14 + 1 + 14 = 32
projv'(w) = 132 v' = 23 ( -12, 1, 12 ) = ( -13, 23, 13 )
Agora, calculamos w' = w - proje1(w) - projv'(w) = (0 - 0 - (-13), 1 - 0 - 23, 0 - 0 - 13) = ( 13, 13, -13 ) :
Então,

Passo 4

Agora que temos os vetores ortogonais |e1| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz2 , e1 = e1|e1| = ( 1raiz2, 0, 1raiz2 ) e |v'| = raiz(-12)^2 + 1^2 + (12)^2 = raiz14 + 1 + 14 = raiz32 = raiz62 , vamos normalizá-los para obter uma base ortonormal.
Normalizamos v' = v'|v'| = ( -12raiz62, 1raiz62, 12raiz62 ) = ( -1raiz6, 2raiz6, 1raiz6 ) :
|w'| = raiz(13)^2 + (13)^2 + (-13)^2 = raiz19 + 19 + 19 = raiz13 = raiz33
w' = w'|w'| = ( 13raiz33, 13raiz33, -13raiz33 ) = ( 1raiz3, 1raiz3, -1raiz3 )
Normalizamos :
Normalizamos :

Resposta

Os vetores formam um conjunto linearmente independente e uma base ortonormal para o conjunto é dada por:
( 1raiz2, 0, 1raiz2 ), ( -1raiz6, 2raiz6, 1raiz6 ), ( 1raiz3, 1raiz3, -1raiz3 )

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