Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma transformação linear que funciona de para . Basicamente, pega um polinômio de grau até 2, tira a derivada e soma isso com o polinômio multiplicado por . Nosso objetivo aqui é encontrar o núcleo dessa transformação, ou seja, todos os polinômios que, ao aplicarmos , dão zero: . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear e derivadas de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o polinômio geral de grau até 2:
onde , e são números reais.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de :
Passo 4
Segundo a definição da transformação :
Vamos simplificar isso:
Passo 5
Para que esteja no núcleo de , precisamos que . Ou seja:
Isso significa que todos os coeficientes devem ser iguais a zero:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações:
De
Já que , a terceira equação fica , ou seja,
E de
Passo 7
Então, os coeficientes são:
a = 0, b = 0, c = 0
Isso significa que o único polinômio no núcleo de é o polinômio nulo.
Resposta
O núcleo de Ker(T) = 0 é o conjunto que contém apenas o polinômio nulo: