Seja T: P2(R) longrightarrow P3(R) dada por T(p(x))=p^prime(x)+x p(x).
Determine Ker(T);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma transformação linear que funciona de para . Basicamente, pega um polinômio de grau até 2, tira a derivada e soma isso com o polinômio multiplicado por . Nosso objetivo aqui é encontrar o núcleo dessa transformação, ou seja, todos os polinômios que, ao aplicarmos , dão zero: . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear e derivadas de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o polinômio geral p(x) = ax^2 + bx + c de grau até 2:
onde , e são números reais.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de p'(x) = 2ax + b :

Passo 4

Segundo a definição da transformação T(p(x)) = p'(x) + x cdot p(x) = (2ax + b) + x(ax^2 + bx + c) :
T(p(x)) = 2ax + b + a x^3 + b x^2 + c x
Vamos simplificar isso:

Passo 5

Para que a x^3 + b x^2 + (2a + c) x + b = 0 esteja no núcleo de a = 0 b = 0 2a + c = 0 , precisamos que . Ou seja:
Isso significa que todos os coeficientes devem ser iguais a zero:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. De
  2. Já que , a terceira equação fica , ou seja,
  3. E de

Passo 7

Então, os coeficientes são:
a = 0, b = 0, c = 0
Isso significa que o único polinômio no núcleo de é o polinômio nulo.

Resposta

O núcleo de Ker(T) = 0 é o conjunto que contém apenas o polinômio nulo:

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Mostre que T: R^2 longrightarrow C([0,1]), dada por T(x, y)=x e^t+y e^2 t é uma transformação linear.
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T é injetora?
Seja T: R^3 R^3 a transformação linear cuja matriz na base canônica é
[T]=[rrr 1 & -1 & 0 0 & 3 & 0 1 & 1 & 1 ]
Determine:
(a) O polinômio característico de T;