Mostre que (A^t)^t=A para toda matriz A.

Passo 1

Vamos entender a questão: precisamos provar que, ao transpor uma matriz A duas vezes, a gente retorna à matriz original. Isso envolve os conceitos de matrizes e transposição, então vamos precisar saber o que é uma transposta e como ela funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz A, denotada por A^t, é uma nova matriz onde as linhas de A viram colunas em A^t e vice-versa. Ou seja, o elemento que está na posição (i,j) em A passa para a posição (j,i) em A^t.

Passo 3

Agora, vamos considerar a transposta da transposta, ou seja, (A^t)^t. Aplicando a definição, vamos transpor A^t. Assim, cada elemento que está na posição (i,j) em A^t vai para a posição (j,i) em (A^t)^t.

Passo 4

Mas lembre-se que, na matriz original A, o elemento na posição (j,i) é exatamente o elemento que estava na posição (i,j) em A^t. Portanto, ao transpor A^t, estamos retornando aos elementos originais de A.

Resposta

Portanto, mostramos que (A^t)^t = A para toda matriz A.

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