Mostre que
para toda matriz
.
Passo 1
Vamos entender a questão: precisamos provar que, ao transpor uma matriz
duas vezes, a gente retorna à matriz original. Isso envolve os conceitos de matrizes e transposição, então vamos precisar saber o que é uma transposta e como ela funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz
, denotada por
, é uma nova matriz onde as linhas de
viram colunas em
e vice-versa. Ou seja, o elemento que está na posição
em
passa para a posição
em
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a transposta da transposta, ou seja,
. Aplicando a definição, vamos transpor
. Assim, cada elemento que está na posição
em
vai para a posição
em
.
Passo 4
Mas lembre-se que, na matriz original
, o elemento na posição
é exatamente o elemento que estava na posição
em
. Portanto, ao transpor
, estamos retornando aos elementos originais de
.
Resposta
Portanto, mostramos que
para toda matriz
.