Mostre que tal grandeza pode ser descrita por uma função exponencial
onde a constante positiva
mede o valor inicial presente
e
é uma constante positiva apropriada, chamada constante de decaimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que uma certa grandeza, chamada
, pode ser descrita por uma função exponencial da forma
onde
é o valor inicial (quando
) e
é uma constante positiva conhecida como constante de decaimento. Para resolver isso, vamos usar a teoria de funções exponenciais e equações diferenciais, que ajudam a modelar processos de decaimento, como o resfriamento de um objeto ou o decaimento radioativo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função exponencial. Uma função exponencial tem a forma geral
onde
é a taxa de crescimento (
) ou decaimento (
). No nosso caso, queremos um decaimento, por isso usamos
no expoente.
Passo 3
Agora, vamos supor que a taxa de mudança da grandeza
em relação ao tempo
seja proporcional ao próprio
. Isso é representado pela equação diferencial
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, ou seja, como
muda com o tempo. O sinal negativo indica que
está decaindo.
Passo 4
Vamos verificar se a função proposta
satisfaz a equação diferencial. Para isso, calculamos a derivada de
:
Perceba que
isso confirma que a função
realmente satisfaz a equação diferencial que representa o decaimento exponencial.
Passo 5
Como mostramos que a função
satisfaz a equação diferencial
e atende à condição inicial
, podemos concluir que essa é a descrição correta da grandeza em questão.
Resposta
Dessa forma, concluímos que a grandeza
pode ser descrita pela função exponencial
onde
é o valor inicial e
é a constante de decaimento positiva.
Exercícios relacionados
Sejam
a normal unitária exterior ao conjunto
e
a superfície de
. Se
é um campo vetorial de classe
, mostre que
, usando: o Teorema de Stokes.
Boa prova.
Boa prova.
Sejam
a normal unitária exterior ao conjunto
e
a superfície de
. Se
é um campo vetorial de classe
, mostre que
, usando: o Teorema de Gauss.
Um crânio encontrado num local de escavações arqueológicas tem um décimo da quantidade de carbono-14 que possuía originalmente. Determine a idade aproximada do crânio.
Dada a função
a) (Valor 1.0) Encontre O domínio, , da fànção
,
a) (Valor 1.0) Encontre O domínio,