Mostre que tal grandeza pode ser descrita por uma função exponencial
onde a constante positiva mede o valor inicial presente e é uma constante positiva apropriada, chamada constante de decaimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que uma certa grandeza, chamada , pode ser descrita por uma função exponencial da forma
onde é o valor inicial (quando ) e é uma constante positiva conhecida como constante de decaimento. Para resolver isso, vamos usar a teoria de funções exponenciais e equações diferenciais, que ajudam a modelar processos de decaimento, como o resfriamento de um objeto ou o decaimento radioativo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função exponencial. Uma função exponencial tem a forma geral
onde é a taxa de crescimento ( ) ou decaimento ( ). No nosso caso, queremos um decaimento, por isso usamos no expoente.

Passo 3

Agora, vamos supor que a taxa de mudança da grandeza em relação ao tempo seja proporcional ao próprio . Isso é representado pela equação diferencial
Aqui, representa a derivada de em relação a , ou seja, como muda com o tempo. O sinal negativo indica que está decaindo.

Passo 4

Vamos verificar se a função proposta satisfaz a equação diferencial. Para isso, calculamos a derivada de :
Perceba que
isso confirma que a função realmente satisfaz a equação diferencial que representa o decaimento exponencial.

Passo 5

Como mostramos que a função satisfaz a equação diferencial e atende à condição inicial , podemos concluir que essa é a descrição correta da grandeza em questão.

Resposta

Dessa forma, concluímos que a grandeza pode ser descrita pela função exponencial
onde é o valor inicial e é a constante de decaimento positiva.

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