Mostre que a temperatura critica
, pressão crítica
e volume criticos
são dados por:
e
, quando se considera o modelo que gera a equação de estado para gases de van der Waals.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar as expressões da temperatura crítica (
), pressão crítica (
) e volume crítico (
) usando a equação de estado dos gases de van der Waals. A gente vai precisar entender um pouco sobre a equação de van der Waals e o que define essas propriedades críticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de van der Waals, que é uma versão corrigida da equação dos gases ideais para levar em conta o volume das moléculas e as forças de atração entre elas. A equação é:
Aqui,
é a pressão,
o volume molar,
a temperatura,
a constante dos gases, e
e
são parâmetros que ajustam a pressão e o volume, respectivamente.
Passo 3
Para encontrar as condições críticas, a gente sabe que no ponto crítico, há um ponto de inflexão na curva
versus
. Isso significa que as derivadas primeira e segunda de
em relação a
são zero no ponto crítico. Matemática falando:
Passo 4
Vamos reescrever a equação de van der Waals para expressar
em função de
:
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
No ponto crítico, isso deve ser igual a zero:
Passo 5
Também precisamos da segunda derivada de
em relação a
:
No ponto crítico, essa também é igual a zero:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
). Vamos resolver primeiro a primeira equação:
Então,
Passo 7
Agora, vamos resolver a segunda equação:
Substituindo
da etapa anterior:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por 2:
Mas essa equação só é satisfeita se
. Então:
Passo 8
Agora que temos
, vamos encontrar
substituindo esse valor na expressão que obtivemos na etapa 6:
Passo 9
Por fim, vamos encontrar a pressão crítica
usando a equação de van der Waals com
:
Substituindo
:
Resposta
As propriedades críticas são dadas por:
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Para
de
gasoso a
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|
1,0000 | 3,0000 | 5,0000 |
|
22405 | 7461,4 | 4473,1 |
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contra P para esses três valores experimentais e extrapole para
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(a) ;
(a)