Mostre que a temperatura critica , pressão crítica e volume criticos são dados por: e , quando se considera o modelo que gera a equação de estado para gases de van der Waals.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar as expressões da temperatura crítica ( ), pressão crítica ( ) e volume crítico ( ) usando a equação de estado dos gases de van der Waals. A gente vai precisar entender um pouco sobre a equação de van der Waals e o que define essas propriedades críticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de van der Waals, que é uma versão corrigida da equação dos gases ideais para levar em conta o volume das moléculas e as forças de atração entre elas. A equação é:
Aqui, é a pressão, o volume molar, a temperatura, a constante dos gases, e e são parâmetros que ajustam a pressão e o volume, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar as condições críticas, a gente sabe que no ponto crítico, há um ponto de inflexão na curva versus . Isso significa que as derivadas primeira e segunda de em relação a são zero no ponto crítico. Matemática falando:

Passo 4

Vamos reescrever a equação de van der Waals para expressar em função de :
Agora, vamos calcular a primeira derivada de em relação a :
No ponto crítico, isso deve ser igual a zero:

Passo 5

Também precisamos da segunda derivada de em relação a :
No ponto crítico, essa também é igual a zero:

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ). Vamos resolver primeiro a primeira equação:
Então,

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda equação:
Substituindo da etapa anterior:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo ambos os lados por 2:
Mas essa equação só é satisfeita se . Então:

Passo 8

Agora que temos , vamos encontrar substituindo esse valor na expressão que obtivemos na etapa 6:

Passo 9

Por fim, vamos encontrar a pressão crítica usando a equação de van der Waals com :
Substituindo :

Resposta

As propriedades críticas são dadas por:

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