(PUC) Se tg(alpha) = 1/3, com x no primeiro quadrante, calcular sen(2 alpha), cos(2 alpha) e tg(2 alfa).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde sabemos que e está no primeiro quadrante. A gente precisa encontrar , e . Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas de ângulos duplos e entender um pouco sobre as relações entre os lados de um triângulo retângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Imagina um triângulo retângulo onde o cateto oposto ao ângulo tem comprimento 1 e o cateto adjacente tem comprimento 3.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a hipotenusa desse triângulo usando o Teorema de Pitágoras:
Então, a hipotenusa vale .

Passo 4

Com a hipotenusa, podemos encontrar e :

Passo 5

Agora, vamos usar as identidades trigonométricas para ângulos duplos:

Passo 6

Calculando :

Passo 7

Calculando :

Passo 8

Finalmente, calculando :

Resposta

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