Seja uma transformação linear de tal que e . Encontre uma expressão para ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma expressão para a transformação linear que leva vetores de para . A gente sabe como age em três vetores específicos: , e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como vai de para , a matriz de será uma matriz . Vamos chamar essa matriz de:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Sabemos que . Vamos multiplicar a matriz pelo vetor :
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos usar T 1 1 0 = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 d cdot 1 + e cdot 1 + f cdot 0 = a + b d + e = 0 4 . Fazendo a mesma coisa:
1 + b = 0 Rightarrow b = -1 3 + e = 4 Rightarrow e = 1
Substituindo e :
Passo 5
Por último, vamos usar T 4 0 1 = a cdot 4 + b cdot 0 + c cdot 1 d cdot 4 + e cdot 0 + f cdot 1 = 4a + c 4d + f = 0 20 :
4(1) + c = 0 Rightarrow 4 + c = 0 Rightarrow c = -4 4(3) + f = 20 Rightarrow 12 + f = 20 Rightarrow f = 8
Substituindo e :
Passo 6
Agora que encontramos todos os coeficientes, nossa matriz T = 1 & -1 & -4 3 & 1 & 8 fica assim:
Resposta
A expressão para a transformação linear T(x, y, z) = 1 & -1 & -4 3 & 1 & 8 x y z = (x - y - 4z, 3x + y + 8z) é: