Seja uma transformação linear de tal que e . Encontre uma expressão para ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma expressão para a transformação linear que leva vetores de para . A gente sabe como age em três vetores específicos: , e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como vai de para , a matriz de será uma matriz . Vamos chamar essa matriz de:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Sabemos que . Vamos multiplicar a matriz pelo vetor :
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos usar . Fazendo a mesma coisa:
Substituindo e :
Passo 5
Por último, vamos usar :
Substituindo e :
Passo 6
Agora que encontramos todos os coeficientes, nossa matriz fica assim: