Seja uma transformação linear de tal que e . Encontre uma expressão para ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma expressão para a transformação linear que leva vetores de para . A gente sabe como age em três vetores específicos: , e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como vai de para , a matriz de será uma matriz . Vamos chamar essa matriz de:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabemos que . Vamos multiplicar a matriz pelo vetor :
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos usar . Fazendo a mesma coisa:
Substituindo e :

Passo 5

Por último, vamos usar :
Substituindo e :

Passo 6

Agora que encontramos todos os coeficientes, nossa matriz fica assim:

Resposta

A expressão para a transformação linear é:

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