Mostre que, todo conjunto não-enumerável X ⊆ R possui algum ponto de acumulação a in X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que todo conjunto não enumerável tem pelo menos um ponto de acumulação . Vamos precisar entender um pouco sobre topologia e propriedades de conjuntos na reta real para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto de acumulação. Um ponto é um ponto de acumulação de se, em todo intervalo ao redor de , tem outros pontos de . Ou seja, não dá para isolar sem encontrar outros elementos de perto dele.

Passo 3

Agora, vamos supor, por contraposição, que não tem nenhum ponto de acumulação. Isso significaria que para cada ponto , existe um intervalo onde está em . Basicamente, seria um conjunto discreto na reta real.

Passo 4

Se é discreto, podemos listar seus elementos, ou seja, enumerá-los . Isso faz de um conjunto enumerável. Mas isso entra em conflito com a nossa hipótese inicial de que é não enumerável.

Passo 5

Essa contradição mostra que nossa suposição de que não tem pontos de acumulação está errada. Portanto, deve ter pelo menos um ponto de acumulação.

Resposta

Concluímos que todo conjunto não-enumerável possui pelo menos um ponto de acumulação .

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