Mostre que, todo conjunto não-enumerável
possui algum ponto de acumulação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que todo conjunto não enumerável
tem pelo menos um ponto de acumulação
. Vamos precisar entender um pouco sobre topologia e propriedades de conjuntos na reta real para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto de acumulação. Um ponto
é um ponto de acumulação de
se, em todo intervalo ao redor de
, tem outros pontos de
. Ou seja, não dá para isolar
sem encontrar outros elementos de
perto dele.
Passo 3
Agora, vamos supor, por contraposição, que
não tem nenhum ponto de acumulação. Isso significaria que para cada ponto
, existe um intervalo onde só
está em
. Basicamente,
seria um conjunto discreto na reta real.
Passo 4
Se
é discreto, podemos listar seus elementos, ou seja, enumerá-los
. Isso faz de
um conjunto enumerável. Mas isso entra em conflito com a nossa hipótese inicial de que
é não enumerável.
Passo 5
Essa contradição mostra que nossa suposição de que
não tem pontos de acumulação está errada. Portanto,
deve ter pelo menos um ponto de acumulação.
Resposta
Concluímos que todo conjunto não-enumerável
possui pelo menos um ponto de acumulação
.
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