Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
b)
, onde
b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto
composto por matrizes específicas e uma operação de multiplicação usual de matrizes. O que precisamos verificar é se esse conjunto
forma um grupo. Para isso, vamos precisar entender os axiomas de grupo, que são:
- Fechamento: O resultado da operação entre quaisquer dois elementos do conjunto também deve estar no conjunto.
- Associatividade: A operação deve ser associativa, ou seja,
para todos no conjunto. - Elemento identidade: Deve existir um elemento no conjunto que, quando operado com qualquer elemento do conjunto, retorne o próprio elemento.
- Elementos inversos: Para cada elemento no conjunto, deve existir outro elemento que, quando operados, resultem no elemento identidade.
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o conjunto
. As matrizes em
têm a seguinte forma:
onde
e
são números reais diferentes de zero. Isso significa que todas as matrizes em
têm a segunda linha composta por zeros.
Passo 3
Fechamento: Vamos verificar se a multiplicação de duas matrizes em
resulta em outra matriz também em
.
Seja:
Multiplicando
e
:
Como
e
são reais e diferentes de zero (pois
), o resultado está de fato em
. Portanto, o conjunto
é fechado sob a multiplicação.
Passo 4
Associatividade: A multiplicação de matrizes é sempre associativa. Isso significa que para quaisquer três matrizes
em
, a igualdade
sempre será verdadeira. Portanto, a associatividade está garantida.
Passo 5
Elemento identidade: Para
ser um grupo, deve existir uma matriz que funcione como identidade, ou seja, que satisfaça
para qualquer
em
.
A matriz identidade usual é:
No entanto, observamos que a matriz identidade
não pertence a
, porque na segunda linha de
temos
e em
todas as matrizes têm a segunda linha
. Portanto, não existe um elemento identidade em
.
Passo 6
Elementos inversos: Mesmo que tentássemos encontrar um inverso para uma matriz arbitrária em
, sem um elemento identidade no conjunto, não podemos definir inversos adequadamente. Portanto, não há inversos em
.
Resposta
Como o conjunto
não possui um elemento identidade e, por consequência, não possui inversos para seus elementos,
não forma um grupo.
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.
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f) , onde
f)
Mostre que para todo
é válido que:
a)
a)