Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
b) (M, *), onde
M=(ll a & b 0 & 0 ) ; a, b in R e a, b neq 0 e (*) é a operação usual de muéçãçã

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto composto por matrizes específicas e uma operação de multiplicação usual de matrizes. O que precisamos verificar é se esse conjunto forma um grupo. Para isso, vamos precisar entender os axiomas de grupo, que são:
  1. Fechamento: O resultado da operação entre quaisquer dois elementos do conjunto também deve estar no conjunto.
  2. Associatividade: A operação deve ser associativa, ou seja, para todos no conjunto.
  3. Elemento identidade: Deve existir um elemento no conjunto que, quando operado com qualquer elemento do conjunto, retorne o próprio elemento.
  4. Elementos inversos: Para cada elemento no conjunto, deve existir outro elemento que, quando operados, resultem no elemento identidade.
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o conjunto a & b 0 & 0 . As matrizes em têm a seguinte forma:
onde e são números reais diferentes de zero. Isso significa que todas as matrizes em têm a segunda linha composta por zeros.

Passo 3

Fechamento: Vamos verificar se a multiplicação de duas matrizes em A = a & b 0 & 0 , B = c & d 0 & 0 resulta em outra matriz também em A * B = a cdot c + b cdot 0 & a cdot d + b cdot 0 0 cdot c + 0 cdot 0 & 0 cdot d + 0 cdot 0 = a c & a d 0 & 0 .
Seja:
Multiplicando e :
Como e são reais e diferentes de zero (pois ), o resultado está de fato em . Portanto, o conjunto é fechado sob a multiplicação.

Passo 4

Associatividade: A multiplicação de matrizes é sempre associativa. Isso significa que para quaisquer três matrizes em , a igualdade sempre será verdadeira. Portanto, a associatividade está garantida.

Passo 5

Elemento identidade: Para E = 1 & 0 0 & 1 ser um grupo, deve existir uma matriz que funcione como identidade, ou seja, que satisfaça para qualquer em .
A matriz identidade usual é:
No entanto, observamos que a matriz identidade não pertence a , porque na segunda linha de temos e em todas as matrizes têm a segunda linha . Portanto, não existe um elemento identidade em .

Passo 6

Elementos inversos: Mesmo que tentássemos encontrar um inverso para uma matriz arbitrária em , sem um elemento identidade no conjunto, não podemos definir inversos adequadamente. Portanto, não há inversos em .

Resposta

Como o conjunto não possui um elemento identidade e, por consequência, não possui inversos para seus elementos, não forma um grupo.

Exercícios relacionados

Questão. A função trabalho do potássio é 2,2 eV.
a) Calcule o valor limite das frequências e o comprimento de onda correspondente para esse metal.
b) A luz violeta, de comprimento de onda 4000 AA, causará o efeito fotoelétrico em níquel (função trabalho = 5,0 eV )?
Questão. Considere o estado fundamental do oscilador harmônico. Qual o valor médio da posição? Esse resultado é esperado? Justifique.
Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
f) (G, *), onde
G=R backslash1 e (^*) é a operação: a * b=a+b-a cdot b éçã
Mostre que para todo a in(G, *) é válido que:
a) a^m * a^n=a^m+n