Seja
uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se
então
não é limitada; em particular,
não é convergente.
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que
.
Mostre que se
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de números reais positivos, chamada
. A tarefa é mostrar que se o limite da razão
for maior que 1, então a sequência não é limitada e, consequentemente, não converge. Além disso, precisamos dar exemplos de sequências que convergem e que divergem, mas que têm o limite da razão
igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites, sequências limitadas, convergência e divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite
. Isso indica que, à medida que
cresce, cada termo da sequência é, em média, maior que o termo anterior por um fator maior que 1. Isso sugere que os termos estão crescendo exponencialmente.
Passo 3
Agora, vamos assumir que
onde
. Podemos escolher um número
tal que
. Como
se aproxima de
, para
suficientemente grande, temos
.
Passo 4
Com isso, podemos afirmar que
para
grande o suficiente. Isso significa que cada termo subsequente é pelo menos
vezes maior que o anterior, levando a uma sequência que cresce de forma exponencial, já que multiplicamos por um fator constante maior que 1 a cada passo.
Passo 5
Agora, vamos provar que a sequência não é limitada. Suponha, por contradição, que a sequência seja limitada, ou seja, existe um número
tal que
para todo
. Mas, como
, isso implicaria que
cresce sem limite, o que contraria a hipótese de que a sequência é limitada. Portanto, nossa suposição está errada e a sequência não é limitada.
Passo 6
Como a sequência não é limitada, ela também não pode ser convergente. Uma sequência que converge para um limite finito deve ser limitada. Portanto, concluímos que se
, a sequência
não é limitada e, portanto, não converge.
Passo 7
Agora, vamos dar exemplos de sequências onde
.
Exemplo de sequência convergente:
Considere a sequência . Vamos calcular:
Considere a sequência
Essa sequência converge para 1.
Exemplo de sequência divergente:
Considere a sequência . Vamos calcular:
Considere a sequência
Apesar do limite ser 1, a sequência
diverge para o infinito.
Resposta
Seguindo os passos acima, demonstramos que se
, então a sequência
não é limitada e não converge. Além disso, exemplificamos que sequências como
convergem para 1 com
, enquanto
diverge para o infinito mesmo tendo
.
Exercícios relacionados
Mostre que, para todo
,
(Pelo Exercício 1.11, basta considerar o caso em que
; considere a subsequência com índices
; nesse caso,
.)
Sejam
e
; verifique que
e conclua que
. (Pode ser mais conveniente considerar primeiro
.)
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência (estritamente) crescente é sempre limitada inferiormente.
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência monótona é limitada se e somente se possui uma subsequência limitada.