Seja uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então não é limitada; em particular, não é convergente.
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de números reais positivos, chamada . A tarefa é mostrar que se o limite da razão for maior que 1, então a sequência não é limitada e, consequentemente, não converge. Além disso, precisamos dar exemplos de sequências que convergem e que divergem, mas que têm o limite da razão igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites, sequências limitadas, convergência e divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite . Isso indica que, à medida que cresce, cada termo da sequência é, em média, maior que o termo anterior por um fator maior que 1. Isso sugere que os termos estão crescendo exponencialmente.

Passo 3

Agora, vamos assumir que onde . Podemos escolher um número tal que . Como se aproxima de , para suficientemente grande, temos .

Passo 4

Com isso, podemos afirmar que para grande o suficiente. Isso significa que cada termo subsequente é pelo menos vezes maior que o anterior, levando a uma sequência que cresce de forma exponencial, já que multiplicamos por um fator constante maior que 1 a cada passo.

Passo 5

Agora, vamos provar que a sequência não é limitada. Suponha, por contradição, que a sequência seja limitada, ou seja, existe um número tal que para todo . Mas, como , isso implicaria que cresce sem limite, o que contraria a hipótese de que a sequência é limitada. Portanto, nossa suposição está errada e a sequência não é limitada.

Passo 6

Como a sequência não é limitada, ela também não pode ser convergente. Uma sequência que converge para um limite finito deve ser limitada. Portanto, concluímos que se , a sequência não é limitada e, portanto, não converge.

Passo 7

Agora, vamos dar exemplos de sequências onde .
Exemplo de sequência convergente:
Considere a sequência . Vamos calcular:
Essa sequência converge para 1.
Exemplo de sequência divergente:
Considere a sequência . Vamos calcular:
Apesar do limite ser 1, a sequência diverge para o infinito.

Resposta

Seguindo os passos acima, demonstramos que se , então a sequência não é limitada e não converge. Além disso, exemplificamos que sequências como convergem para 1 com , enquanto diverge para o infinito mesmo tendo .

Exercícios relacionados

Mostre que, para todo ,
(Pelo Exercício 1.11, basta considerar o caso em que ; considere a subsequência com índices ; nesse caso, .)
Sejam e ; verifique que e conclua que . (Pode ser mais conveniente considerar primeiro .)
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência (estritamente) crescente é sempre limitada inferiormente.
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência monótona é limitada se e somente se possui uma subsequência limitada.