Mostre que, tomando e os vetores , a relação abeixo é um produto interno:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, no espaço das polinômios de grau até 2 (denotado por ), a relação define um produto interno. Isso significa que precisamos verificar se essa relação satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada um produto interno, como positividade, linearidade e simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial deve satisfazer três propriedades principais:
  1. Positividade: Para todo vetor , , e se e somente se é o vetor zero.
  2. Linearidade na primeira variável: Para todos os vetores e escalar , .
  3. Simetria: Para todos os vetores e , .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a relação dada.

Passo 3

Positividade: Vamos calcular onde .
Como , e são todos números não negativos, a soma deles também será não negativa. Além disso, somente se , ou seja, se for o polinômio zero. Isso satisfaz a propriedade de positividade.

Passo 4

Linearidade na primeira variável: Vamos verificar se .
Sejam e , então:
Calculando o produto interno:
Isso pode ser separado em:
Portanto, a linearidade está satisfeita.

Passo 5

Simetria: Vamos ver se .
Calculando ambos os lados:
Como a multiplicação de números reais é comutativa ( ), os dois lados são iguais. Assim, a simetria está confirmada.

Resposta

Concluímos que a relação satisfaz todas as propriedades de um produto interno em .

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b)
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