Mostre que, tomando
e os vetores
, a relação abeixo é um produto interno:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, no espaço das polinômios de grau até 2 (denotado por
), a relação
define um produto interno. Isso significa que precisamos verificar se essa relação satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada um produto interno, como positividade, linearidade e simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial deve satisfazer três propriedades principais:
- Positividade: Para todo vetor
, , e se e somente se é o vetor zero. - Linearidade na primeira variável: Para todos os vetores
e escalar , . - Simetria: Para todos os vetores
e , .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a relação dada.
Passo 3
Positividade: Vamos calcular
onde
.
Como
,
e
são todos números não negativos, a soma deles também será não negativa. Além disso,
somente se
, ou seja, se
for o polinômio zero. Isso satisfaz a propriedade de positividade.
Passo 4
Linearidade na primeira variável: Vamos verificar se
.
Sejam
e
, então:
Calculando o produto interno:
Isso pode ser separado em:
Portanto, a linearidade está satisfeita.
Passo 5
Simetria: Vamos ver se
.
Calculando ambos os lados:
Como a multiplicação de números reais é comutativa (
), os dois lados são iguais. Assim, a simetria está confirmada.
Resposta
Concluímos que a relação
satisfaz todas as propriedades de um produto interno em
.