Mostre que, tomando V=P2 e os vetores p1(x)=a0+a1 x+a2 x^2, p2(x)= b0+b1 x+b2 x^2 in P2, a relação abeixo é um produto interno:
lang<= p1(x), p2(x)rang<==a0 b0+a1 b1+a2 b2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, no espaço das polinômios de grau até 2 (denotado por P2), a relação lang<= p1(x), p2(x)rang<= = a0 b0 + a1 b1 + a2 b2 define um produto interno. Isso significa que precisamos verificar se essa relação satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada um produto interno, como positividade, linearidade e simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial deve satisfazer três propriedades principais:
  1. Positividade: Para todo vetor p, lang<= p, p rang<= >= 0, e lang<= p, p rang<= = 0 se e somente se p é o vetor zero.
  2. Linearidade na primeira variável: Para todos os vetores p, q, r e escalar c, lang<= cp + q, r rang<= = clang<= p, r rang<= + lang<= q, r rang<=.
  3. Simetria: Para todos os vetores p e q, lang<= p, q rang<= = lang<= q, p rang<=.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a relação dada.

Passo 3

Positividade: Vamos calcular lang<= p, p rang<= onde p(x) = a0 + a1x + a2x^2.
lang<= p, p rang<= = a0^2 + a1^2 + a2^2
Como a0^2, a1^2 e a2^2 são todos números não negativos, a soma deles também será não negativa. Além disso, lang<= p, p rang<= = 0 somente se a0 = a1 = a2 = 0, ou seja, se p(x) for o polinômio zero. Isso satisfaz a propriedade de positividade.

Passo 4

Linearidade na primeira variável: Vamos verificar se lang<= cp1 + p2, p3 rang<= = clang<= p1, p3 rang<= + lang<= p2, p3 rang<=.
Sejam p1(x) = a0 + a1x + a2x^2 e p2(x) = b0 + b1x + b2x^2, então:
cp1(x) + p2(x) = (c a0 + b0) + (c a1 + b1)x + (c a2 + b2)x^2
Calculando o produto interno:
lang<= cp1 + p2, p3 rang<= = (c a0 + b0)c0 + (c a1 + b1)c1 + (c a2 + b2)c2
Isso pode ser separado em:
c(a0c0 + a1c1 + a2c2) + (b0c0 + b1c1 + b2c2) = clang<= p1, p3 rang<= + lang<= p2, p3 rang<=
Portanto, a linearidade está satisfeita.

Passo 5

Simetria: Vamos ver se lang<= p1, p2 rang<= = lang<= p2, p1 rang<=.
Calculando ambos os lados:
lang<= p1, p2 rang<= = a0b0 + a1b1 + a2b2
lang<= p2, p1 rang<= = b0a0 + b1a1 + b2a2
Como a multiplicação de números reais é comutativa ( aibi = biai), os dois lados são iguais. Assim, a simetria está confirmada.

Resposta

Concluímos que a relação lang<= p1(x), p2(x)rang<= = a0 b0 + a1 b1 + a2 b2 satisfaz todas as propriedades de um produto interno em P2.

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