Sejam o ponto A(xo, yo) e o vetor não nulo v=(a, b). Se w é um vetor não nulo paralelo a v, demonstrar que os vetores v, w determinam a mesma reta r que passa por A.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos dá um ponto e um vetor não nulo . Além disso, temos outro vetor que é paralelo a . O que precisamos provar é que os vetores e determinam a mesma reta que passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores paralelos e equações de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que dois vetores são paralelos. Vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro. Então, como w = k cdot v é paralelo a , podemos escrever:
Onde é um número real diferente de zero.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como escrever a equação de uma reta através de um ponto e com um vetor diretor. A equação vetorial da reta r = A + t cdot v que passa por e tem como vetor diretor é:
Onde é um parâmetro real.

Passo 4

Substituindo r = A + t cdot w na equação da reta, temos:
Mas já que é apenas um múltiplo de , a direção da reta não muda, apenas a parametrização.

Passo 5

Isso significa que tanto quanto apontam na mesma direção, ou seja, determinam a mesma linha reta. Portanto, a reta definida por é a mesma que seria definida por .

Resposta

Os vetores e determinam a mesma reta que passa pelo ponto .

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