Sejam o ponto
e o vetor não nulo
. Se
é um vetor não nulo paralelo a
, demonstrar que os vetores
determinam a mesma reta
que passa por
.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos dá um ponto
e um vetor não nulo
. Além disso, temos outro vetor
que é paralelo a
. O que precisamos provar é que os vetores
e
determinam a mesma reta
que passa pelo ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores paralelos e equações de retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que dois vetores são paralelos. Vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro. Então, como
é paralelo a
, podemos escrever:
Onde
é um número real diferente de zero.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como escrever a equação de uma reta através de um ponto e com um vetor diretor. A equação vetorial da reta
que passa por
e tem
como vetor diretor é:
Onde
é um parâmetro real.
Passo 4
Substituindo
na equação da reta, temos:
Mas já que
é apenas um múltiplo de
, a direção da reta não muda, apenas a parametrização.
Passo 5
Isso significa que tanto
quanto
apontam na mesma direção, ou seja, determinam a mesma linha reta. Portanto, a reta
definida por
é a mesma que seria definida por
.
Resposta
Os vetores
e
determinam a mesma reta
que passa pelo ponto
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Mostre que
é um conjunto ortonormal quando
tem como produto interno a relação abaixo
mas não é um conjunto ortonormal em
com o produto interno usual.
Normalizem os vetores abaixo:
Ainda, após normalizados, esse conjunto de vetores é ortonormal? Justifique
Escreva a Equação Cartesiana da reta que passa pelos pontos
e
Mostre que, tomando
e os vetores
, a relação abeixo é um produto interno: