Sejam u=(x1, x2, x3) e v=(y1, y2, y3). Identifique os casos em que temos um produto interno definido em R^3. Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
b) lang<= u, vrang<==x1^2 y1^2+x2^2 y2^2+x3^2 y3^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a fórmula define um produto interno em . Para isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer. Vamos conferir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial, como , é uma operação que associa a cada par de vetores e um número real, geralmente denotado por , e que satisfaz algumas propriedades específicas. As principais propriedades que um produto interno deve cumprir são:
  1. Comutatividade (Simetria):
  2. Linearidade em cada argumento (Bilinearidade):
  3. Positividade definida: e se e somente se é o vetor nulo.
Nos próximos passos, vamos verificar se a fórmula dada atende a essas propriedades.

Passo 3

Vamos começar verificando a comutatividade. Precisamos ver se lang<= u, v rang<= = x1^2 y1^2 + x2^2 y2^2 + x3^2 y3^2 .
Calculando lang<= v, u rang<= = y1^2 x1^2 + y2^2 x2^2 + y3^2 x3^2 :
Calculando :
Observamos que porque a multiplicação é comutativa ( ). Então, a propriedade de comutatividade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a linearidade em cada argumento. Vamos começar verificando se a operação é linear no primeiro argumento, ou seja, se lang<= u + w, v rang<= = (x1 + w1)^2 y1^2 + (x2 + w2)^2 y2^2 + (x3 + w3)^2 y3^2 .
Vamos calcular = x1^2 y1^2 + 2x1w1 y1^2 + w1^2 y1^2 + x2^2 y2^2 + 2x2w2 y2^2 + w2^2 y2^2 + x3^2 y3^2 + 2x3w3 y3^2 + w3^2 y3^2 , onde lang<= u, v rang<= + lang<= w, v rang<= = (x1^2 y1^2 + x2^2 y2^2 + x3^2 y3^2) + (w1^2 y1^2 + w2^2 y2^2 + w3^2 y3^2) :
= x1^2 y1^2 + x2^2 y2^2 + x3^2 y3^2 + w1^2 y1^2 + w2^2 y2^2 + w3^2 y3^2
Expandindo os quadrados:
Agora, somando :
Comparando com , vemos que há termos extras que não estão em . Isso indica que a linearidade não está sendo satisfeita.

Passo 5

Como a propriedade de linearidade não está satisfeita, já temos um indicativo de que essa fórmula não define um produto interno em lang<= u, u rang<= = x1^4 + x2^4 + x3^4 . Mas vamos verificar a última propriedade para confirmar.
Vamos checar a positividade definida, ou seja, se e apenas quando é o vetor nulo.
Calculando :
Note que para todo , então . Além disso, somente se , ou seja, se for o vetor nulo.
Portanto, a propriedade de positividade definida está satisfeita.

Resposta

A operação não define um produto interno em porque a propriedade de linearidade não é satisfeita.

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