Sejam e . Identifique os casos em que temos um produto interno definido em . Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a fórmula define um produto interno em . Para isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer. Vamos conferir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial, como , é uma operação que associa a cada par de vetores e um número real, geralmente denotado por , e que satisfaz algumas propriedades específicas. As principais propriedades que um produto interno deve cumprir são:
  1. Comutatividade (Simetria):
  2. Linearidade em cada argumento (Bilinearidade):
  3. Positividade definida: e se e somente se é o vetor nulo.
Nos próximos passos, vamos verificar se a fórmula dada atende a essas propriedades.

Passo 3

Vamos começar verificando a comutatividade. Precisamos ver se .
Calculando :
Calculando :
Observamos que porque a multiplicação é comutativa ( ). Então, a propriedade de comutatividade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a linearidade em cada argumento. Vamos começar verificando se a operação é linear no primeiro argumento, ou seja, se .
Vamos calcular , onde :
Expandindo os quadrados:
Agora, somando :
Comparando com , vemos que há termos extras que não estão em . Isso indica que a linearidade não está sendo satisfeita.

Passo 5

Como a propriedade de linearidade não está satisfeita, já temos um indicativo de que essa fórmula não define um produto interno em . Mas vamos verificar a última propriedade para confirmar.
Vamos checar a positividade definida, ou seja, se e apenas quando é o vetor nulo.
Calculando :
Note que para todo , então . Além disso, somente se , ou seja, se for o vetor nulo.
Portanto, a propriedade de positividade definida está satisfeita.

Resposta

A operação não define um produto interno em porque a propriedade de linearidade não é satisfeita.

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Mostre que, tomando e os vetores , a relação abeixo é um produto interno:
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Determinar o gráfico correspondente da equação