Sejam
e
. Identifique os casos em que temos um produto interno definido em
. Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a fórmula
define um produto interno em
. Para isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer. Vamos conferir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial, como
, é uma operação que associa a cada par de vetores
e
um número real, geralmente denotado por
, e que satisfaz algumas propriedades específicas. As principais propriedades que um produto interno deve cumprir são:
- Comutatividade (Simetria):
- Linearidade em cada argumento (Bilinearidade):
-
- Positividade definida:
e se e somente se é o vetor nulo.
Nos próximos passos, vamos verificar se a fórmula dada atende a essas propriedades.
Passo 3
Vamos começar verificando a comutatividade. Precisamos ver se
.
Calculando
:
Calculando
:
Observamos que
porque a multiplicação é comutativa (
). Então, a propriedade de comutatividade está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a linearidade em cada argumento. Vamos começar verificando se a operação é linear no primeiro argumento, ou seja, se
.
Vamos calcular
, onde
:
Expandindo os quadrados:
Agora, somando
:
Comparando com
, vemos que há termos extras
que não estão em
. Isso indica que a linearidade não está sendo satisfeita.
Passo 5
Como a propriedade de linearidade não está satisfeita, já temos um indicativo de que essa fórmula não define um produto interno em
. Mas vamos verificar a última propriedade para confirmar.
Vamos checar a positividade definida, ou seja, se
e
apenas quando
é o vetor nulo.
Calculando
:
Note que
para todo
, então
. Além disso,
somente se
, ou seja, se
for o vetor nulo.
Portanto, a propriedade de positividade definida está satisfeita.
Resposta
A operação
não define um produto interno em
porque a propriedade de linearidade não é satisfeita.
Exercícios relacionados
Mostre que, tomando
e os vetores
, a relação abeixo é um produto interno:
Escreva a Equação Cartesiana da reta que passa pelos pontos
e
Seja a equação não trivial
Provar que existe um ponto
tal que
Determinar o gráfico correspondente da equação