Mostre que o trabalho realizado pela força elástica de uma mola ao ser distendida ou comprimida vale sempre: W-k x=-(12 k xf^2-12 k xi^2) onde xi e xf são as deformações inicial e final da mola, e k é a sua constante elástica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o trabalho realizado pela força elástica de uma mola, quando ela é esticada ou comprimida, é dado por:
W-k x = -(12 k xf^2 - 12 k xi^2)
Aqui, xi é a deformação inicial, xf é a deformação final da mola, e k é a constante elástica da mola. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é trabalho em física, como a força elástica funciona e como calcular o trabalho realizado por uma força variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho. Trabalho ( W) é a energia transferida por uma força agindo sobre um objeto enquanto ele se move. Matematicamente, é dado pela integral da força em relação ao deslocamento:
W = integralxi^xf F , dx
No caso de uma mola, a força elástica ( F) é dada pela Lei de Hooke:
F = -k x
O sinal negativo indica que a força está na direção oposta ao deslocamento.

Passo 3

Agora, substituímos a expressão da força na fórmula do trabalho:
W = integralxi^xf (-k x) , dx
Isso simplifica para:
W = -k integralxi^xf x , dx
Aqui, estamos integrando a função x em relação a x de xi a xf.

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral x , dx = 12 x^2
Então, o trabalho fica:
W = -k [ 12 x^2 ]xi^xf
Isso significa que devemos avaliar 12 x^2 nos limites de xf e xi.

Passo 5

Aplicando os limites na expressão integrada:
W = -k ( 12 xf^2 - 12 xi^2 )
Podemos fatorar o 12:
W = -( 12 k xf^2 - 12 k xi^2 )

Resposta

Assim, mostramos que o trabalho realizado pela força elástica da mola é:
W-k x = -(12 k xf^2 - 12 k xi^2)

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