Mostre que o trabalho realizado pela força elástica de uma mola ao ser distendida ou comprimida vale sempre:
onde
e
são as deformações inicial e final da mola, e
é a sua constante elástica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o trabalho realizado pela força elástica de uma mola, quando ela é esticada ou comprimida, é dado por:
Aqui,
é a deformação inicial,
é a deformação final da mola, e
é a constante elástica da mola. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é trabalho em física, como a força elástica funciona e como calcular o trabalho realizado por uma força variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho. Trabalho (
) é a energia transferida por uma força agindo sobre um objeto enquanto ele se move. Matematicamente, é dado pela integral da força em relação ao deslocamento:
No caso de uma mola, a força elástica (
) é dada pela Lei de Hooke:
O sinal negativo indica que a força está na direção oposta ao deslocamento.
Passo 3
Agora, substituímos a expressão da força na fórmula do trabalho:
Isso simplifica para:
Aqui, estamos integrando a função
em relação a
de
a
.
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Então, o trabalho fica:
Isso significa que devemos avaliar
nos limites de
e
.
Passo 5
Aplicando os limites na expressão integrada:
Podemos fatorar o
:
Resposta
Assim, mostramos que o trabalho realizado pela força elástica da mola é: