(P+a nV^2)(V-n b)=n R T
onde a e b são constantes que dependem do tipo de gás. Calcule o segundo e terceiro coeficientes viriais ( B e C ) para um gás obedecendo à equação de van der Waals, em termos de a e b. (Dica: a expansão binomial diz que (1+x)^p approx 1+p x+12 p(p-1) x^2, desde que |p x| ll 1. Aplique esta aproximação na expressão [1-(n b / V)]^-1.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação conhecida como a equação de van der Waals:
(P+a nV^2)(V-n b)=n R T
Aqui, P é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante dos gases e T a temperatura. As constantes a e b são específicas para cada tipo de gás. Nosso objetivo é calcular os segundo e terceiro coeficientes viriais, chamados de B e C, em termos de a e b. Para isso, vamos precisar usar a expansão binomial e a equação dos viriais.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação de van der Waals para isolar a pressão P. Dividimos ambos os lados por (V - n b):
P + a nV^2 = n R TV - n b
Agora, isolamos P:
P = n R TV - n b - a nV^2

Passo 3

Vamos simplificar a fração 1V - n b. Podemos escrever isso como:
1V - n b = 1V (1 - n bV) = 1V cdot 11 - n bV
Agora, aplicamos a expansão binomial na expressão [1 - (n b / V)]^-1, usando a dica fornecida:
(1 - n bV)^-1 approx 1 + n bV + (n bV)^2
Então, temos:
1V - n b approx 1V (1 + n bV + (n bV)^2)

Passo 4

Substituímos essa aproximação na equação da pressão:
P = n R TV (1 + n bV + (n bV)^2) - a nV^2
Distribuindo n R T / V:
P = n R TV + n R T bV^2 + n R T b^2V^3 - a nV^2
Agora, dividimos tudo por n R T para relacionar com a equação dos viriais:
Pn R T = 1V + (bV^2 - aR T V^2) + b^2V^3

Passo 5

Comparando com a equação dos viriais:
Pn R T = 1V + BV^2 + CV^3 + dots
Podemos identificar os coeficientes viriais:
  • Segundo coeficiente virial ( B):
B = b - aR T
  • Terceiro coeficiente virial ( C):
C = b^2

Resposta

Os coeficientes viriais são dados por:
B = b - aR T
e
C = b^2

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