Um operador linear T: R^2 longrightarrow R^2 é tal que T(1,0)=(3,-2) e T(0,1)=(1,4). Determinar T(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! Primeiro, o enunciado fala sobre um operador linear . Nosso objetivo é descobrir a fórmula geral de sabendo que e . Para isso, vamos utilizar os conceitos de transformações lineares e combinação linear.

Passo 2

Um operador linear é uma função que preserva as operações de adição e de multiplicação por escalar. Isso significa que, para qualquer vetor T(v + w) = T(v) + T(w) e T(cv) = cT(v) em (x, y) = x(1,0) + y(0,1) e para qualquer escalar , temos:
No nosso caso, queremos encontrar . Vamos expressar como uma combinação linear dos vetores básicos e :

Passo 3

Agora, aplicamos a transformação linear T(x, y) = T(x(1,0) + y(0,1)) nessa combinação:
T(x, y) = xT(1,0) + yT(0,1)
Pelas propriedades de linearidade que mencionamos, isso se transforma em:
T(1,0) = (3, -2) e T(0,1) = (1, 4)
Substituímos os valores que já conhecemos:

Passo 4

Vamos multiplicar cada vetor pelo seu escalar correspondente:
xT(1,0) = x(3, -2) = (3x, -2x)
yT(0,1) = y(1, 4) = (y, 4y)
Agora, somamos esses dois resultados:
(3x, -2x) + (y, 4y) = (3x + y, -2x + 4y)

Passo 5

Então, a transformação linear T(x, y) = (3x + y, -2x + 4y) aplicada a qualquer vetor é dada por:

Resposta

T(x, y) = (3x + y, -2x + 4y)

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