Um operador linear
é tal que
e
. Determinar
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! Primeiro, o enunciado fala sobre um operador linear
. Nosso objetivo é descobrir a fórmula geral de
sabendo que
e
. Para isso, vamos utilizar os conceitos de transformações lineares e combinação linear.
Passo 2
Um operador linear é uma função que preserva as operações de adição e de multiplicação por escalar. Isso significa que, para qualquer vetor
e
em
e para qualquer escalar
, temos:
No nosso caso, queremos encontrar
. Vamos expressar
como uma combinação linear dos vetores básicos
e
:
Passo 3
Agora, aplicamos a transformação linear
nessa combinação:
Pelas propriedades de linearidade que mencionamos, isso se transforma em:
Substituímos os valores que já conhecemos:
Passo 4
Vamos multiplicar cada vetor pelo seu escalar correspondente:
Agora, somamos esses dois resultados:
Passo 5
Então, a transformação linear
aplicada a qualquer vetor
é dada por: