Mostre que a transformação linear T: R^3 R^3 definida por
T(x, y, z)=(x-2 y, z, x+y)
é um isomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . O objetivo é mostrar que essa transformação é um isomorfismo. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e determinantes, que nos ajudam a verificar se a transformação é invertível.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear A = 1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 por uma matriz. Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem dos vetores da base canônica sob .
A base canônica de é formada pelos vetores , e . Vamos aplicar a cada um desses vetores:
Então, a matriz de é:

Passo 3

Agora, para verificar se det(A) = 1 cdot 0 & 1 1 & 0 - (-2) cdot 0 & 1 1 & 0 + 0 cdot 0 & 0 1 & 1 é um isomorfismo, precisamos ver se a matriz 0 & 1 1 & 0 = (0)(0) - (1)(1) = -1 é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero.
Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot (-1) - (-2) cdot (-1) + 0 = -1 - 2 + 0 = -3 :
Calculando os determinantes das matrizes menores:
Substituindo de volta:

Resposta

Como o determinante de é diferente de zero ( ), a matriz é invertível. Portanto, a transformação linear é um isomorfismo.

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